宋彦志 杨 倩 任哲雨 陶永富 廖鸿辉 乔 梁
（1. 中国石油玉门油田公司乍得有限责任公司，甘肃 酒泉 735000；
2. 中国石油玉门油田公司勘探部，甘肃 酒泉 735000；
3. 中国石油玉门油田公司老君庙采油厂，甘肃 玉门 735008；
4. 中国石油玉门油田公司勘探开发研究院，甘肃 酒泉 735000）
页岩气藏储层致密，储集特性和气体流动机理与常规气藏具有较大区别，采用常规手段开采页岩气井无经济产能，水平井和水力压裂技术是动用页岩气藏资源的有效技术手段[1‐3］。页岩气压裂水平井初期产量高，产量递减速度较快，投产后2~3 a产量递减幅度可达到80%，严重影响页岩气井投资回报比[4‐5］。
页岩气在微−纳米基质中流动特征复杂，页岩气主要以游离态和吸附态2 种形式赋存在页岩孔隙中，有机质孔和无机质孔的性质差异又造成页岩气在这2 种孔隙中的赋存机理不同[6‐8］。准确表征页岩气在微−纳米孔隙中的流动规律是模拟页岩气井产能的关键。目前在研究页岩气微观流动模拟方面主要有分子模拟和宏观模型2 种。分子模拟包括格子玻尔兹曼方法[9］和分子动力学方法[10］，这2 种方法在模拟单个分子属性及认识微观传输规律方面具有独特优势，但无法针对页岩气储层真实岩石属性建模，常采用碳纳米管等模型进行研究[11］，研究成果应用于校正气体的吸附解吸量，计算耗时较长；
宏观模型依托达西定律，考虑微观尺度下壁面效应对气体渗流的影响，添加壁面修正项对气体黏性流、分子扩散和表面吸附扩散等渗流机制进行表征，采用线性叠加[12‐13］和加权叠加[14‐16］2 种方式组合多种渗流机制。
储层基质、天然裂缝和人工裂缝构成了页岩储层流体渗流的多尺度性，裂缝系统是气体的主要渗流通道，目前在数学建模中对裂缝系统有隐式和显式2 种模拟手段。隐式模型包括双重介质模型[17］、多重介质模型[18‐19］等，通过划分基质系统和裂缝系统，建立不同系统间的窜流系数；
显式模型包括离散裂缝模型[20］、嵌入式离散裂缝模型[21‐22］等，该模拟将裂缝网格属性赋值到基质网格，裂缝与基质间建立传导率，建立统一的渗流方程。页岩气藏压裂水平井数值模拟方法主要包括半解析法和数值法[23］：半解析法[24‐25］在解析方法的基础上通过对裂缝划分微元单元，建立基质和裂缝系统系数求解矩阵，求解稀疏矩阵进行生产动态预测；
数值法[26‐28］基于数值离散思想，对渗流方程空间项和时间项进行数值离散，建立离散求解格式，求解偏微分方程，进而预测生产动态。数值求解方法在计算精度上要远高于半解析法，对考虑复杂气体流动特征的页岩气压裂水平井数学模型，半解析法生成的稀疏矩阵容易出现发散的情况。
针对上述问题，建立页岩气藏多重流动机理表观渗透率模型，采用双重介质模型隐式表征储层天然裂缝，采用离散裂缝模型显式表征水力裂缝，建立页岩气藏压裂水平井产能评价模型，采用有限差分方法对数学模型进行数值求解。在此基础上分析储层参数、布缝模式、裂缝形态等因素对页岩气藏压裂水平井产能的影响，以期对页岩气井开发调整和区域压裂井增产措施提供理论支撑。
1.1 物理模型及假设条件
在建立页岩气压裂井产能模型之前，首先建立物理模型，对物理模型作如下假设：页岩储层为外边界封闭箱状储层；
水力主裂缝为双翼对称垂直裂缝，裂缝高度等于储层厚度；
储层流体流动为等温渗流，忽略重力影响；
储层基质和裂缝连通性好，采用双重介质模型表征天然裂缝模型（图1）。
图1 页岩气压裂水平井模型及流体流动示意Fig. 1 Schematic diagram of shale gas fracturing horizontal well model and fluid flow
1.2 气体多重流动机制
页岩气在页岩基质孔隙中的流动可以分为黏性流、分子扩散和表面吸附扩散3 类。本文采用分形毛管束模型建立页岩微纳尺度孔隙中气体流动模型。
基于文献[29］，考虑真实气体效应下有机质单根毛细管中摩尔质量通量的计算式为
式中：Jv——黏性流动质量通量，kg/（m2·s）；
Jt——分子扩散质量通量，kg/（m2·s）；
Js——表面吸附扩散质量通量，kg/（m2·s）；
λ——孔隙毛细管半径，m；
ρg——气体密度，kg/m3；
Δp——气体压力差，MPa；
μg——气体黏度，mPa·s；
M——气体摩尔质量，kg/mol；
Lt——真实毛细管长度，m；
Kn——克努森数；
Z——气体偏差因子；
R——摩尔气体常数，J/（mol·K）；
T——地层温度，℃；
cg——气体压缩系数，MPa−1；
dm——甲烷分子直径，m；
θ——吸附层在孔隙表面的覆盖率；
Ds——气体表面扩散系数，m2/s；
CL——最大吸附量，mol/m3；
pL——气体Langmuir 吸附压力，MPa。
基于分形理论，在最小和最大毛细管直径范围内对单根毛细管中总质量通量J（λ）积分，可以获得毛细管总数为NF的岩石基质迂曲毛管束总摩尔质量，其表达式为
式中：QT——迂曲毛管束总摩尔质量，kg/mol；
λmin——孔隙毛细管最小半径，m；
λmax——孔隙毛细管最大半径，m；
NF——毛细管束总个数。
达西渗流摩尔质量流量公式为
式中：∇p——气体压力梯度，MPa/m；
L0——岩样直线边长，m；
KOm——页岩有机质孔隙中气体表观渗透率，10−3μm2。
将式（2）、式（3）联立可得到页岩有机质微纳孔隙中考虑黏性流、分子扩散和表面扩散真实状态下的气体表观渗透率，其表达式为
式 中：λOmax—— 有 机 质 孔 隙 最 大 直 径，m；
λOmin——有机质孔隙最小直径，m；
Df——毛管束分形维度；
DT——迂曲度分形维度。
无机质孔隙中，孔隙表面吸附气体能力弱，吸附气量可忽略。采用分形毛管束模型，忽略孔隙表面吸附扩散，得到无机质孔分形表观渗透率为
式中：λImax——无机质孔隙最大直径，m；
λImin——无机质孔隙最小直径，m；
KIm——页岩无机质孔隙中气体表观渗透率，10−3μm2。
页岩气藏微−纳米尺度渗流表观渗透率计算公式为
式中：Kapp——页岩气藏微−纳米尺度渗流表观渗透率，10−3μm2；
ε——有机质比例。
1.3 渗流数学模型
基质系统渗流控制方程为
式中：pm——基质系统压力，MPa；
σ——形状因子；
pf——裂缝系统压力，MPa；
ϕm——基质孔隙度；
qdes——页岩气在基质表面解吸气量，kg/m3。
随着气井生产储层压力逐渐降低，吸附在页岩基质表面的页岩气开始解吸，根据Langmuir 等温吸附公式，当基质表面动态吸附解吸平衡时
式中：ρs——页岩基质密度，kg/m3；
VL——Lang‐muir 体积，m3/kg；
Vstd——标况下单位摩尔质量气体体积，m3/mol。
页岩气藏在生产过程中随着储层压力的降低裂缝逐渐闭合，导致渗透率降低，在计算过程中需要对裂缝系统渗透率进行修正。裂缝系统流体渗流速度为
式中：vg——裂缝系统流体渗流速度，m/s；
Kfe——裂缝应力敏感的裂缝渗透率，10−3μm2；
Bg——气体体积系数。
考虑裂缝应力敏感的裂缝渗透率修正公式为
式中：Kfi——页岩储层裂缝系统原始渗透率，10−3μm2；
df——应力敏感系数，MPa−1；
pfi——裂缝系统初始压力，MPa。
气体通过裂缝系统时表现出高速非达西流动特征，根据Forchheimer 高速非达西公式
式中β——紊流系数。
裂缝系统渗流控制方程为
式中：qwell——单条水力裂缝产气量，m3/d；
ϕf——裂缝孔隙度，%。
不考虑水平井筒阻力损失和存储效应的拟稳态井模型为
式中：Qwell——压裂水平井的总产气量，m3；
nF——水力裂缝条数；
Pgi——第i条水力主裂缝的采气指数，m3/（MPa·d）；
pavei——第i条裂缝与井筒交会处网格压力，MPa；
pwf——井底流压，MPa。其中，Pgi表达式为
式中：Kfei——第i条裂缝修正裂缝渗透率，10−3μm2；
bfi——第i条裂缝宽度，m；
r0i——第i条裂缝的等效井半径，m；
rw——水平井井筒半径，m；
sc——井筒表皮系数。
储层中流体流入裂缝过程可以等效为流入高度为bf，底部半径为r0的等效垂直井，如图2 所示。等效井半径计算公式为
图2 Peaceman井模型示意Fig. 2 Schematic diagram of Peaceman well model
式中：r0i——等效井半径，m；
lFi——第i条裂缝长度，m；
hFi——第i条裂缝高度，m。
公式（1）—公式（15）构建起页岩气藏多级压裂水平井渗流综合控制方程，方程初始条件满足
式中：pmi——基质系统初始压力，MPa；
α——边界处外法向单位方向。
1.4 模型求解计算
依据有限差分原理，利用五点差分计算格式对公式（7）和公式（12）进行离散，采用追赶法计算得到裂缝系统压力分布，逐点求解基质系统压力分布。
对基质系统，有限差分求解方程表示为
式中：下标m——基质系统；
下标i——计算区域x方向第i个离散网格；
下标j——计算区域y方向第j个离散网格；
上标n——第n个计算时间步；
——第（i，j）个网格在第n个时间步时基质系统压力，MPa；
Cmt——基质系统综合压缩系数，MPa−1；
Vi，j——第（i，j） 个 网 格 的 体 积，m3；
Δt——计算时间步长；
Qmf——基质系统和裂缝系统之间的窜流量，m3/s。
其中：
式中：Δxi——计算区域x方向第i个网格长度；
Δyi——计算区域y方向第i个网格长度；
h——计算区域储层厚度，m。
对裂缝系统，有限差分求解方程表示为
式中：下标f——裂缝系统；
pnfi，j——第（i，j）个网格在第n个时间步时裂缝系统压力，MPa；
Cft——裂缝系统综合压缩系数，MPa−1。
其中：
求解过程计算流程如图3 所示。
图3 模型求解流程Fig. 3 Model solution process
2.1 模型验证
采用文献[30］中给出的Barnett 页岩压裂水平井生产数据进行验证计算。该页岩气井水平段长度为853.4 m，储层厚度为90.0 m，裂缝簇间距为30.5 m，投产1 560 d，生产初期最高日产气量为21.2×104m3，生产800 d 后达到稳产阶段，稳产阶段平均日产气量为3.1×104m3，计算模型输入参数数据见表1。模拟结果如图4 所示，本模型计算生产初期日产气量为23.2×104m3，800 d 后稳产阶段平均日产气量为2.8×104m3，本文产能模型预测趋势和计算结果与实际产量匹配良好。
表1 Barnett页岩气井基础数据Table 1 Basic data of Barnett shale gas well
图4 本文模型与Barnett页岩气井日产气量对比Fig. 4 Comparison of gas production between our model and Barnett shale gas well
2.2 储层参数
2.2.1 表观渗透率
多重流动机理是页岩气藏流体流动区别于常规气藏的主要特征，图5 为表观渗透率对页岩气藏压裂水平井产量的影响。不考虑微观流动机理将储层基质渗透率设置为定值，生产1 560 d 后累计产气量为6.02×106m3。考虑微观流动机理生产1 560 d后累计产气量为7.50×106m3，二者之间累产气量相差20%以上。不考虑微观流动机理会低估页岩气井的产气能力，这种误差会在气井稳产阶段进一步放大。生产后期储层压力降低，吸附气解吸增加储层孔隙中游离气含量，是保证气井后期能够稳定生产的关键。在建立页岩气藏压裂水平井产能模型时需建立考虑全面的气体表观渗透率模型。
图5 表观渗透率对页岩气压裂水平井产量的影响Fig. 5 Effect of apparent permeability on shale gas production of fracturing horizontal well
2.2.2 Langmuir体积
利用Langmuir 体积表征页岩基质解吸脱附气体的能力，图6 表示Langmuir 体积分别取0、0.003、0.005 m3/kg 时对页岩气藏压裂水平井日产气量和累计产气量的影响。从图6 中可看出，VL数值越大，日产气量和累计产气量越大，且气井递减周期越长，中后期阶段气井日产量越大。方案二和方案三生产1 560 d 后累计产气量是方案一的1.3 倍和1.6 倍。随着储层压力逐渐降低，吸附在页岩基质有机孔表面的气体脱附解吸，补充了基质孔隙中游离气含量，减缓了生产后期气井产量递减的趋势。页岩气的吸附解吸是页岩气藏开采的重要流动特征，忽略气体解吸的影响预测气井产量将偏低[31］。
图6 Langmuir体积对页岩气压裂水平井产量的影响Fig. 6 Effect of Langmuir volume on shale gas production of fracturing horizontal well
2.2.3 应力敏感系数
随着储层压力逐渐降低，天然裂缝系统受到的有效应力增大，裂缝逐渐闭合。图7 表示裂缝应力敏感系数分别取0、0.05、0.10 MPa−1时对页岩气藏压裂水平井日产气量和累计产气量的影响。从图7可以看出，随着应力敏感系数的增大，气井日产气量和累计产气量均出现下降。方案二和方案三生产1 560 d 后气井累计产气量相比方案一分别下降了15%和37%。根据公式（10）可知，裂缝应力敏感系数越大，水力裂缝闭合越快，裂缝渗透率降低程度越大，导致气井生产前期日产气量递减较快。随着应力敏感系数的增大，气井日产气量递减程度增大。对于高应力敏感性储层，生产初期要选择合理的生产制度，避免前期储层压力降幅过大导致气井产量下降较快[32］。
图7 应力敏感效应对页岩气压裂水平井产量的影响Fig. 7 Effect of stress sensitivity on shale gas production of fracturing horizontal well
2.3 布缝模式
水力裂缝的布缝模型影响气井控制范围，对气井的产量有直接影响。本文设置了3 种布缝模型：U 形布缝、反U 形布缝和锯齿形布缝，模拟区域大小为135 m×290 m×90 m，裂缝簇间距为15 m，模型输入参数参考表1，模型如图8（a）―（c）所示。模拟生产1 560 d 后，储层压力下降范围如图8（d）―（f）所示，U 形布缝和反U 形布缝两种布缝模式缝间的压降程度要大于锯齿形布缝，但锯齿形布缝压降范围要大于另外2 种模式。从图9 生产数据上看：U 形布缝累计产气量>反U 形布缝累计产气量>锯齿形布缝累计产气量，U 形布缝由于外侧裂缝较长控制范围较大，中间裂缝生产干扰较少，因此产量最高，现场水力压裂施工时建议采用U 形布缝模型。
图8 布缝模式对压裂水平井生产动态的影响Fig. 8 Effect of fractures pattern on production perfor‐mance of fracturing horizontal well
图9 布缝模式对页岩压裂水平井产量的影响Fig. 9 Effect of fractures pattern on shale gas production of fracturing horizontal well
2.4 裂缝形态
考虑裂缝弯曲形态对气井产量的影响，建立平直缝和弯曲缝2 种裂缝形态，如图10（a）、（b）所示。模型计算区域大小和物性参数取值与2. 3 中模型相同，两种裂缝形态保持总缝长为200 m。从图10（c）、（d）可以看出，裂缝形态影响着储层压力降落范围，弯曲裂缝储层压降范围更大，裂缝间压降程度更大，弯曲裂缝增大了裂缝与储层基质的接触面积，提高了裂缝控制范围。生产1 560 d 后，弯曲裂缝的累计产气量要大于平直裂缝，这种增产效果在气井生产中后期效果明显，如图11 所示。提高水力裂缝复杂度有助于提高压裂水平井的累计产气量。
图10 裂缝形态对压裂水平井生产动态的影响Fig. 10 Effect of fractures geometry on production performance of fracturing horizontal well
图11 裂缝形态对页岩压裂水平井产量的影响Fig. 11 Effect of fractures geometry on shale gas production of fracturing horizontal well
（1）采用双重介质模型隐式表征天然裂缝，离散裂缝模型显式表征水力裂缝，能较好地刻画页岩气藏压裂井基质−天然裂缝−水力裂缝的流动关系。
（2）在计算页岩气藏压裂水平井气量时，忽略页岩气微观流动机理会导致较大的计算误差，建立全面综合的表观渗透率模型是提高产量计算精度的关键。Langmuir 体积越大、裂缝应力敏感系数越小，单井产量越高。
（3）水力裂缝的分布和形态对气井产量和储层压降范围有较大影响。U 形布缝气井产量要大于反U 形布缝和锯齿型布缝，弯曲缝气井产量要大于平直缝。在压裂施工设计时，优先推荐段内U 形布缝，并采用转向暂堵技术提高裂缝的复杂度。
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