【摘要】将《义务教育数学课程标准（2011年版）》与《义务教育数学课程标准（2022版）》“数与代数”领域实例作为研究对象，从实例分布、实例结构与实例内容三个维度展开对比研究，发现新课标实例分布与内容改动较大，实例结构略有变化.在此基础上提出若干建议，以期帮助教师通过实例落实新课标理念.
【关键词】数学课程标准；
初中数学；
数与代数；
实例；
对比研究
1研究问题的提出
课程标准是国家制订的基础教育课程的基本规范与质量要求，是规定某一学科的课程性质、课程目标、内容目标、实施建议的教学指导性文件.2022年4月21日，教育部正式颁布《义务教育数学课程标准（2022年版）》[1]（以下简称“新课标”），较之《义务教育数学课程标准（2011年版）》[2]（以下简称“旧课标”），“数与代数”领域的实例发生许多改变.实例是指在课程标准附录中的案例，旨在帮助教师理解课程标准的内容，把握课程标准的核心思想，为一线教师提供具体的、可执行的、可参考的案例.数学教师如何在课堂中运用实例，最大可能地发挥实例的价值是一个非常重要的研究课题.本文将对比分析新旧课标中初中阶段“数与代数”领域的实例，为广大数学工作者提供参考.
2研究对象与方法
本研究的研究对象是新旧课标初中阶段“数与代数”的实例.“数与代数”是义务教育阶段数学课程的四个领域之一，旧课标与新课标在该领域的主题分类一致，即都由“数与式、方程与不等式、函数”三个主题组成.主题结构已基本定型，但是相同主题的实例改动较大.本研究采用了比较研究法和文本分析法.通过分析文本找出新旧课标中初中阶段“数与代数”领域的所有实例，比较新旧课标初中“数与代数”领域的实例分布、实例结构与实例内容的异同.
研究过程：首先通过量化分析找出实例的分布差异，了解旧课标与新课标实例的整体情况；
其次对比新旧课标实例的内部结构，研究结构变动；
最后对每个实例内容具体分析，找出其增加与减少、增强与削弱的部分.
3研究结果与分析
3.1实例分布
研读旧课标与新课标，发现虽然新旧课标“数与代数”领域都是分类成“数与式、方程与不等式、函数”三个主题，但是不同版本的实例分布不同.如表1所示：旧课标在初中“数与代数”领域一共包含11个实例，“数与式、方程与不等式、函数”三个主题均有设置，分别占比36.36%，27.27%，36.36%，较为均衡[2]101-107.在新课标中，初中阶段“数与代数”共有9个实例，较旧课标有所减少.三个主题各包含3，1，5个实例，占比率为33.33%，11.11%，55.56%[1]143-149.其中函数主题的相关实例最多，意图帮助学生完成从常量学习过渡到变量学习，实现数学思维的飞跃，为高中学习作好铺垫.如例70，71的设计，旨在使学生借助函数工具，解决生活中简单的实际问题，感悟如何用数学的思维思考现实世界.
3.2实例结构
2011年版的旧课标“数与代数”领域实例的结构较为简单，基本可以分为“题目”与“说明”两个部分，其中实例搭配的“说明”包含了实例的解题思路、教学過程与价值解读，为实例研究与实例应用提供了参考.而新课标在保留原有结构的基础上新增标题，实例结构变成了“标题、题目、说明”三部分.例如，例67的标题为“一元二次方程的根与系数的关系”，例68的标题为“通过图象分析函数关系”[1]145-146.这些标题一方面可以帮助教师提炼实例内容，另一方面也有助于实现实例与内容要求的迅速配对.另外，相较于旧课标实例结构的不完整（例47与例54只有题目没有说明[2]101，105），新课标初中“数与代数”领域的所有实例均结构完整，内容丰富.
3.3实例内容
研读新课标发现，初中阶段“数与代数”的实例与课程内容中的内容要求相配对，内容要求主要描述学习的范围与要求，如表2所示.实例内容变化可依据匹配要求大致划分为以下三类：要求相同但对应实例不同、旧要求中补增实例、新要求中新增实例（经整理，未发现实例相同但要求不同，故舍去），具体如表3所示[3].本文将从以上三个方面详细介绍新旧版课标实例内容的差异.
3.3.1要求相同但对应实例不同
例68是一道通过函数图象分析函数关系的题，对应要求“能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析”[1]57，146.不同于旧版先将“小明的父母出去散步，……”的生活情境展现，再从四幅函数图象中分别找出哪些是父亲或母亲离家后距离与时间之间的关系，新版的实例直接将函数图象给出，再使学生想象出满足图象所表示的函数关系.新版课标实例不再局限于常见的从条件推演结果，从结果也可以想象条件.这样的改动可以加强学生对函数的理解，发展几何直观，提高推理能力，激发学生对数学的兴趣.
例69是一道得到函数表达式的题，对应要求“能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义”[1]57，146-147.旧课标的实例是一道常见的购书问题，只需找出购书数量与付款金额的函数表达式即可.新课标实例是找出给定三角形面积与线段长度的函数表达式，这是一个典型的用代数式表达几何结论的问题，相比旧版更能培养学生几何直观与推理能力.
例70是温度的计量，对应要求“结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；
……”[1]57，147-148.相较于旧课标直接给出摄氏温度与华氏温度的对应表，设置四个问题层层递进使学生发现两个变量之间的一次函数关系并进行相关的研究，新课标实例需要学生自行查阅资料，探究过程也多次出现“引导”、“启发”等词语，让学生独立思考、自主探索，学生才是学习的主体.
3.3.2旧要求中补增实例
例65是简单近似计算，对应要求“了解近似数，……，会按问题的要求进行简单的近似计算”[1]55，144.随着大数据时代的到来，近似计算在数据分析中常常使用，相关训练可以发展学生的运算能力.旧课标在该知识点并未设置对应实例.
例67是关于一元二次方程的根与系数的关系的题，对应要求“了解一元二次方程的根与系数的关系”[1]56，145.旧课标将该知识点设为选学内容，并未设置对应实例，新课标不仅将选学改为必学，还设置了对应实例，重要性可见一斑.学生在学习一元二次方程的根与系数的关系的过程中，感悟用符号表达对数学发展的作用，积累用数学符号进行一般性推理的经验.同时，一元二次方程的根与系数的关系在高中应用非常广泛，实例可以帮助学生为高中学习做好准备.
例72是反比例函数的引入，对应要求“结合具体情境体会反比例函数的意义，……”[1]57，148-149.新课标将“成反比例的量”调整至第四学段，并且将特殊函数的顺序由“一次函数、反比例函数、二次函数”改为“一次函数、二次函数、反比例函数”.这样的调整更符合学生的身心发展规律与数学内容的发展过程，但也正是因为这样的调整，实例的存在尤为重要.借助实例使学生感悟从反比例关系过渡到反比例函数的过程，加深对反比例函数的理解.
3.3.3新要求中新增实例
例64是负数的引入，对应要求“理解负数的意义”[1]54，143-144.该知识点与实例都是新增，旨在使学生充分理解、认识到负数可以表示相反意义的量，数学史的引入不仅可以让学生学习更多的数学文化，也能增强民族自信，激发学生数学学习的兴趣.
例66是代数推理，对应新增要求“了解代数推理”[1]56，144-145，推理能力是初中阶段的核心素养主要表现之一，大部分老师将其重点放在“图形与几何”，但是“数与代数”领域中存在大量素材发展学生的推理能力.新课标不仅提出了新要求“了解代数推理”，而且配置了相应的实例，使学生在逻辑论证的过程中，逐步培养推理能力.
例71是二次函数的最大值与最小值问题，对应要求“会求二次函数的最大值或最小值，并能確定相应自变量的值，能解决相应的实际问题”[1]57，148.相较于旧课标，新课标明确了对二次函数的具体要求，该实例的设置不仅帮助学生掌握求二次函数最值的方法，还能感悟如何用数学的思维思考现实世界.
4结语与展望
通过新旧课标的“数与代数”领域实例的对比研究，不难发现新课标在保留旧课标经典实例的基础上有所改动，并且增加了几个新实例.全部实例都展现了核心素养的培养，与课程内容紧密联系，更符合学生的认知发展规律，难度适当.实例作为课程标准的核心理念的最佳体现者与承载者，值得数学教师深入研究，以促进教学[4].
4.1把握实例，解读新课标
课标作为国家课程的基本纲领性文件，语言较为精炼，对读者的阅读水平提出较高要求.而附录中的实例则具有更好的可读性，搭配的“说明”从解题过程、实行方案、核心素养解读等方面诠释实例，更能被一线数学教师所接受.准确把握与理解实例，有助于教师正确解读课标，掌握新课标的核心理念.例如，例66是新课标新增的实例，在初中阶段论证小学所学结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力.该实例对应知识点“了解代数推理”，充分体现了新课标对学生推理能力的培养.
4.2对比实例，传承与变革
新中国成立以来，我国的基础教育经历了多次的课程改革，课标也是一变再变.但是事物的发展离不开传承与变革，课标的实例也是如此.对比研究新旧课标的实例，有助于教师领悟经典实例与新增实例的意蕴与价值，进而深入理解课标并在数学课堂中实践.例如，例70是新旧课标都有的实例，这说明在教学过程中可以借助这一实际例子阐述对应知识点，但是不同点在于旧课标帮助学生搭建好“脚手架”，循环渐进得到结论，而新课标注重学生的自主探索，充分展现课标“学生才是学习的主体”的理念.
4.3应用实例，课标与课堂
实例不仅仅可以帮助教师解读课标，把握核心理念，还可以帮助教师改进教学过程，完善课堂.实例是课标与课堂之间的桥梁.仅仅把握实例或者对比实例是远远不够的，实例仍然只是实例，只有在课堂中积极地应用实例，实例才能发挥真正的价值，实现课标与课堂的交流.但是在应用的过程中，教师也需要考虑教学内容与学生学情，将实例与实际完美融合，再在课堂中实践.
此次研究重点关注新旧课标“数与代数”领域实例的对比，还有许多问题值得进一步探究，如实例产生差异的原因、变革的合理性与科学性、如何将实例落实在课堂等.这些问题都可进行更深层次的研究与分析.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：54-58，143-149.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：101-107.
[3]江华.义务教育数学课程标准新旧版本比较研究[D].福州：福建师范大学，2013：31.
[4]常万里.从实例到实践，从课标到课堂[J].中小学外语教学（中学篇），2012，35（10）：12-16.
作者简介武梦鹭（2000—），女，河南驻马店人，硕士研究生;主要研究数学教育.
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