吴英杰，李宏生
(1.东南大学仪器科学与工程学院，江苏南京 210096；
2.微惯性仪表与先进导航技术教育部重点实验室，东南大学，江苏南京 210096)
半球谐振陀螺与传统机械陀螺和光学陀螺相比具有体积小、抗过载能力强、寿命长等优点[1-2]。这些特性使半球谐振陀螺在航空航天、卫星导航等环境适应性要求较为苛刻的领域有着广阔的发展前景[3-4]。
在力平衡模式下，谐振子振型波腹方位角被固定于0°，依据反馈控制力的大小解算出施加于陀螺的角速度。相比于力平衡模式，全角模式下半球谐振陀螺谐振子在科氏力的作用下自由进动，由科氏力引起的谐振子振型方位角进动速率与外界输入角速度成正比，通过检测振型的进动角可直接解算出载体转动角度。全角模式下的高带宽与大量程使其在高动态范围场景下的应用有着独特的优势，但谐振子的自由进动也使得全角模式下半球谐振陀螺的控制更加复杂。
平均法[5]是半球谐振陀螺全角模式控制中广泛采用的方案，对振动信号使用时间尺度下平均的方法来获取缓变量计算轨道参数，并根据这些参数实现反馈控制。在此基础上，文献[6]提出了一种表征和补偿全角模式下阻尼与频率失配的控制方案，对输出角度中的随机漂移进行动态补偿。文献[7]提出了一种双模振动控制回路设计，使用顺序模式转换的方法，采用粗谐振控制模式提供快速启动和跟踪，精密控制模式实现精密跟踪性能。文献[8]在基于PI控制的传统反馈回路的基础上提出了一种使用反馈线性化的半球形谐振陀螺控制方法，消除了由于刚度不均和阻尼不对称引起的动力学误差。
针对全角模式下半球谐振陀螺的控制回路优化问题，本文从半球谐振谐振子理想条件下二维振动模型出发，对椭圆轨道参数控制方程进行分析，对控制系统中检测端增益不对称性与控制系统延迟对角度估计准确性的影响进行了研究，对振动能量控制回路以及角度解算方法进行了理论推导，基于上述研究基础，提出了控制回路的优化方法。
在理想条件下，半球谐振陀螺可近似建模为由线性弹簧阻尼质量组成的二维振动系统，模型如图1所示。
图1 二维振动系统示意图
集总质量受到轴对称的弹簧组与阻尼组的约束，在平面内围绕原点振动，由于谐振子频率裂解与阻尼轴向不对称造成了刚度主轴与阻尼主轴相对于振动主轴偏移。
在外力的作用下，该振动模型的振动方程可表示为[9]：
(1)
(2)
式中：ω1,ω2为刚度轴向的谐振频率；
τ1，τ2为阻尼轴向衰减系数；
fx，fy为施加于x、y振动方向上的驱动力；
Ω为施加于载体的输入角速度;k为陀螺的角度增益。
如图2所示，基于lynch平均法分析，将二维振动简化为椭圆轨道参数表示[5]：
图2 椭圆振型原理图
(3)
在全角模式下使用驱动力维持振动能量，椭圆振型将在科氏力的作用下以与输入角速度成比例的速率进动，通过提取xy方向的振动信号即可对角速度进行解算。
将x、y轴的振动信号进行提取和分解，采用获得的同向与正交信号计算出表征振动能量、正交、振型倾角以及振动相位的控制量[5]：
(4)
式中：cx,sx,cy,sy分别为x、y方向位移信号的cos和sin分量。
为了维持振动幅度、抑制正交和保持锁相环锁定振动信号的频率和相位，通过相应的控制力对振动能量控制量、正交误差控制量Q进行控制，将作为锁相环的相位差参考输入：
(5)
综上所述，半球陀螺全角模式闭环控制需要补偿振动中的能量损耗维持振型振幅，抑制刚度、阻尼不均造成的正交误差、通过锁相环锁定振动信号频率和相位，对科氏效应引起的振型进动进行信号提取与解算，控制回路如图3所示[10-11]。
图3 半球陀螺全角模式闭环控制回路
首先，在信号采集前端的误差大小对振动信号测量精度至关重要，而信号检测端的增益失配将直接影响振动信号测量的准确性，检测信号的误差会对椭圆振型参数的估计造成负面影响，从而为闭环控制与角度解算引入额外误差。将增益失配误差量引入至检测信号与轴向振动信号关系中[12-15]，可以得到关于增益失配的检测信号表达式：
(6)
式中：Gx、Gy分别为方向的信号检测增益。
将式(6)代入式(4)可得增益失配对于各控制量控制规律的影响：
(7)
进而导致增益失配对角度解算的影响如式(8)所示：
(8)
在增益失配的影响下，对正交量Q的估计量依然与真实值成比例，由于对正交量的控制目标为将其置零，所以增益失配对其的控制无影响；
而由于控制量的估计中增益失配的影响，能量估计值与其真实值的比例因子是角度θ的函数。
如图4所示，随着增益失配的增大，控制量到达稳态后的波动随之增大，这表明增益失配误差将造成振动幅度的振荡。
图4 增益失配与控制量关系曲线
同理，增益失配将引起控制量的波动进而造成解算振型角度的波动，且角度估计与真实值间的比例为振型方位角的函数。当增益失配增大时，波动的幅值也将增大，在增益失配比Gy∶Gx=1.1∶1的条件下，角度误差峰值为2.74°，如图5所示。
图5 增益失配与输出角度误差关系
闭环控制回路中振动信号经过前端提取解调滤波后进行振幅、正交等控制量的计算，再对控制量进行PID控制，施加控制力至陀螺驱动端完成闭环控制，此控制过程中的信号传输、过程量计算等原因使得控制系统存在信号延迟，在延迟时间较大时，被控参数响应滞后，以至系统无法准确跟踪控制量并及时调整输出，控制系统延迟将造成施加控制信号的方向对于实际振型角度的滞后：
θapply=θreal-θe
θe=τdΩ
(9)
式中：θreal为施力方向角；
θapply为实际振型倾角；
θe为滞后角度；
τd为延时量。
该滞后角将造成作用于椭圆振型的控制力耦合，将振幅控制力耦合至角度控制回路：
(10)
式中fqs为角度控制回路的角度控制力[5]。
理想条件下，振型倾角进动速率与外加输入角速度有如下关系：
(11)
式中k为角度增益。
考虑控制力耦合对角速度输出的影响，振幅控制力的耦合将振幅量E的波动导致的振幅控制力fas的误差引入角度增益：
(12)
随着延迟的增大，角度增益k′的波动也随之增大，不同延迟条件下角度增益的波动曲线图如图6所示。
图6 归一化角度增益与延迟关系图
由于增益误差与延时的存在，造成原控制算法中角度解算存在标度误差与零偏误差。原振型角度解算方法如式(4)所示，为了抑制振型角解算过程中的误差，基于式(3)可对角度解算方法进行优化，将振动信号中的余弦分量进行提取，可得到如下振动角度解算方法：
(13)
依据式(13)可将角度解算方法简化为
(14)
如式(14)所示，在优化后的解算方法下检测角与真实振型角两者的正切值比值即为两轴增益之比，在增益为定值时两者成正比。
为了减小控制系统延迟造成的误差，对原控制量计算方法进行简化，基于对角度解算方法的优化，可以略去控制量S、R的计算。
原控制方案式(4)中通过对控制量E进行PID控制对谐振子振幅进行控制并维持稳定,由于控制量为表征谐振子振动能量的控制量，将其作为控制谐振子振幅的参照无法避免其中椭圆振型半短轴振动量q对振幅控制的干扰,因此考虑对振幅控制量进行简化，仅采用椭圆振型长轴振动量进行振幅控制量的计算，综上所述优化后的控制量表达式为
(15)
控制方法优化前后控制量E对比图如图7所示。由图7可知，在输入角速度为100(°)/s的条件下，采用优化后的控制量计算与角度解算方法使得振幅控制上升时间减少了82.1%，最大动态偏差降低了73.8%，可以看出相比于原控制算法，本方法有更优良的响应速度与控制精度。
图7 控制方法优化前后控制量对比图
控制算法优化前后的陀螺角度输出误差对比曲线如图8所示，在外加输入角速度100(°)/s下，原控制算法下输出角度波动峰峰值为7.03°，实线为优化后的角度输出曲线，输出角度波动的峰峰值降低至5.46°，较原方法降低了22.3%。
图8 陀螺角度输出误差对比图
针对半球谐振陀螺检测回路中检测电极检测增益不匹配和控制系统延迟造成的振幅控制误差以及输出角度估计误差，本文基于半球陀螺工作原理，建立动力学模型，对原始公式中振动能量控制量计算方法和角度解算方法进行优化，仿真结果表明：优化后的控制算法能够降低角度估计误差，提高振动能量控制回路的跟随精度。
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