课题：《1.2.3
三角函数的诱导公式（一）》 授课教师：翟小军 教材：苏教版高中数学必修 4
【教学目标】
知识与技能：
1. 能借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式； 2. 运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数； 3. 掌握有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。
过程与方法：
观察单位圆中对称性，经历公式推导过程，借助公式应用，让学生感知从未知到已知、复杂到到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力。
情感、态度、价值观：
1．通过学生自己动手、动脑和亲身感受来获得知识，体会数与形的内在统一性、和谐性，初步体会数学知识与现实世界的联系。
2．让学生树立辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识、小组合作意识，养成刻苦严谨的科学精神。
【教学重点】
1．运用联系的观点，发现并推导出诱导公式。
2．诱导公式的应用。
【教学难点】
引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，主动发现问题，并提出研究方案，探索诱导公式。
【教学方法与教学手段】
启发式教学与探究式学习相结合。通过情境创设，激发学生对未知的探究兴趣，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而形成公式推导的一般探究方法，抓住对称在探究过程中的应用，这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学与生活的紧密联系。
利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率。
【教学过程】
教学环节 教师活动 学生活动 设计 意图 情境创设 1 利用多媒体展示一组体现对称美的图片。并引导学生去观察讨论，发现对称美，感受对称美。
学生观察讨论，感受对称美 让 学 生亲 身 体验 生 活中 的 对称美
情境创设 2 情境 1：
已知 sin7a ， 则15sin ?7
13sin ?7
29sin ?7
解决这些问题过程中，你是如何思考的，怎样解决的，你能用一句话来概括吗？ 更一般地，我们有：诱导公式(一) 学生回答：
sin 2 sincos 2 costan 2 tank k Zk k Zk k Z 依据是终边相同的角的三角函数值相等。
三角函数定义。
sinyr ， cosxr ， tanyx
通 过 问题情境，引 发 认识冲突。
这就是今天我们要学习的 “1.2.3 三角函数的诱导公式”（板书）
由 定 义自 然 得出 诱 导公式一，点题。
复习回顾 在给三角函数定义时，我们还经常把它和哪种平面图形结合起来呢？ 在单位圆中，三角函数定义的形式有何变化呢？ 学生回答：
单位圆。
sin ,cos ,tanyy xx
通 过 单位 圆 简化 三 角函 数 定义，为下一 步 学生 自 主推 导 其余 诱 导公 式 创造条件。
情境创设 3 情境 2：
几何画板出示课件，在单位圆中，设sin ,7a 角7的终边与单位圆的交点为P ，设 P 点坐标为 , x y ，由定义可知sin7yr ， cos7xr ， tan7yx 。
你还能直接研究出哪些比值？（或直接提出问题，你能得出yx（或yx 、yx）的值吗？）
这些比值所对应的几何意义你能说出来吗？ 这种关系会随着角的终边移动而变化吗？（几何画板演示对称关系的不变性）
一般地，怎么样？ 你发现了什么问题？（此处学生提出哪个问题，下面就重点研究哪个问题，即三类对称学生回答：
可以得到yr的值为 a 。
几何意义为点 , x y ， , x y ， , x y 所在终边对应角的正切值。
推广：
一般地，角 的终边与角 的终边关于 x 轴对称，与 的终边关于原点对称，与 的终边关于 y 轴对称。
发现可以由已知角的三角函数值求出终边关于 x 轴对称的三角函数值。
由 问 题引 发 学生思考，进 而 通过 观 察发 现 特殊规律，并 争 取归 纳 出一 般 性的结论。
中的其中一类）
活动探究 预案 1：
如学生先发现了 , x y 与 , x y 所在终边对应角的关系，则引导学生观察利用对称关系，再根据单位圆中的定义，探究出公式二。在此基础上，通过类比的方法，小组合作，探究出公式三、四。
预案 2：
如学生先发现了 , x y 与 , x y 所在终边对应角的关系，则引导学生观察利用对称关系，再根据单位圆中的定义，探究出公式三。在此基础上，通过类比的方法，小组合作，探究出公式二、四。
预案 3：
如学生先发现了 , x y 与 , x y 所在终边对应角的关系，则引导学生观察利用对称关系，再根据单位圆中的定义，探究出公式四。在此基础上，通过类比的方法，小组合作，探究出公式二、三。
学生探究：
在 单 位 圆 中 ， 设 , P x y ， 则 , P x y ，由三角函数定义可知 sin y ， sin y
所以 sin sin ，类似地 cos costan tan 学生探究结果：
sin sincos costan tan （公式三）
sin sincos costan tan （公式四）
通 过 学生活动，培 养 学生 的 探究 能 力以 及 主动 研 究问 题 的兴趣，并能 掌 握研 究 此类 问 题的方法，进 而 为后 面 几个 公 式的 推 导进 行 铺垫。
让 学 生体 会 数学 学 习中 的 方法，感受成 功 的乐趣。
思考：公式二反应了三角函数的什么性质？ sin sincos costan tan （公式二）
学生回答：
奇偶性 f x f x
让 学 生认 识 三角 函 数也 是 一种函数，为 以 后学 习 三角 函 数的 性 质作铺垫。
你能观察出公式二、三、四中反应的三类角终边的对称关系中任意两类与第三类的关系吗？ 这三类公式之间是否也具有相关性呢？ 学生回答：
两次中轴对称，构成了一次中心对称，所以公式二、三可推出四。
三种对称关系中的任两个都可推出第三种结果。（形的方面）
所以三个公式中的任两个亦可推出第三个。（数的方面）
进 一 步体 会 数形 结 合思想。
知识提炼 通过以上探究，你认为公式中的角 一定是第一象限角吗？其他象限与第一象限的结果是否一致？ 把 看成第一象限角，公式有何特点？ 函数名不变，符号看象限。
学 会 从探 究 过程 中 提炼知识，以 利 于知 识 的应用。
应用举例 例 1 求值：
(1)7sin6 ；(2)11cos4 ；(3) tan 1560 。
分析：
(1) 可直接利用公式四进行转化。
(2) 可先利用公式一，再利用公式三。
(3) 可先利用公式一，再利用公式二、三。
也可先利用公式二，再利用公式一。
解：略
问题：
由例 1 的三个求值你能观察到什么共同点？ 你能设计出将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的一般程序吗？ 学生回答：
非特殊角最后都化为特殊角进行求值。
让 学 生体 会 数学 学 习中 方 法的 一 般性 与 重要性，学会 利 用转 化 与化 归 思想 来 解决问题。
练习巩固 让学生进行巩固练习，进一步强化对于任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的一般步骤的认知及转化与化归思想方法的渗透。
学生练习：
1．求值：
(1) sin4 ； (2) cos 60 ；(3)7tan6 ；(4) sin225 . 2．求值：
(1) sin150 ； (2) tan1020 ；(3)3sin4 ；(4) sin 750 . 然后由老师针对学生完成情况进行点评总结。
通 过 学生 板 演来 发 现在 学 生学 习 活动 中 仍然 存 在的问题，并 进 行适 时 点拔，巩固本 节 课所 学 的知 识 与用公式一或二 任意正角的三角函数 用公式一 0 ~ 2 的三角函数 用公式三或四 锐角三角函数 任意负角的三角函数
应用举例 例 2 判断下列函数的奇偶性：
(1) 1 cos f x x ；(2) sin g x x x 。
解：(1)因为函数 f x 的定义域是 R，且 1 cos 1 cos f x x x f x ， 所以 f x 是偶函数。
(2)因为函数 g x 的定义域是 R，且 sin sin g x x x x x
sin x x g x
所以 g x 是奇函数。
学生练习：
3．判断下列函数的奇偶性：
(1) sin f x x ； (2) sin cos f x x x .
然后由老师针对学生完成情况进行点评总结。
方法。
回顾小结
1．你能总结出诱导公式推导过程中用到了哪些思想方法吗？ 2．现在你能说出将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的程序吗？ 学生回答：
类比的方法，数形结合，对称思想，转化与化归。
一般程序：
作业布置 必做：
必修 4 第 22 页，习题 1.2 第 3、4、5 题 思考：对诱导公式形式进行进一步的观察理解，希望你能总结出更好的记忆方法。
板书设计 任意角的三角函数
角 与 角终边关系 与 角三角函数值关系 －
关于 x 轴对称 三个公式 a 关于 y 轴对称 三个公式 关于原点对称 三个公式
用公式一或二 任意正角的三角函数 用公式一 0 ~ 2 的三角函数 用公式三或四 锐角三角函数 任意负角的三角函数 第一组公式 例 1
例 2 复习三角函数定义 单位圆中定义 － 的推导过程
任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的一般步骤
《1.2.3 三角函数的诱导公式（一）》 教学设计说明
一、 创设情境，引导探 究
【教学安排】
通过第一个问题情境，得出第一组诱导公式，同时引出本节课教学主体是“诱导公式”，再通过第二个情境，展开对诱导公式的探究过程。
【设计意图】
第一个情境的目的是让学生建立起由特殊到一般的认知规律，同时自然引入对于三角函数定义的复习，并进一步让学生认识到单位圆对于三角函数定义的简化效果，为下一步诱导公式的探究过程起到铺垫作用。第二个情境创设的目的主要是想让学生形成“认知冲突”，激发主动学习的欲望。
二、 主动探究，得出公式 【教学安排】
通过单位圆的对称性及三角函数的定义，推出三组诱导公式。
【设计意图】
学生往往只注重知识产生的结果，而不注重知识发展的过程，只关注对于公式的记忆，缺少对于新知识的探究欲望，整个认知过程简单化，本处着重想引导学生体会如何把未知转化为已知的过程，掌握探究问题的一般思路，认识到第二组公式完全是建立在以前已知知识点的综合应用上，从而激发起主动探究公式三、四的欲望，并能体会到探究问题的乐趣。
三、 公式理解，深化认识 【教学安排】
出示四组公式，提出两个思考问题：(1)由公式二、三，你能推导出公式四吗？(2)根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？ 【设计意图】
第一个意图首先是通过公式间的互推及角之间的代换让学生认识到公式中的 角是任意角，第二个意图是通过两组公式就可以得出第三组，从中再次体会未知转化为已知的重要思想方法。
四、例题讲解， 反思 应用 【教学安排】
讲解例题 1，然后提出问题，让学生探究。再根据时间讲解例 2。
【设计意图】
例 1 的三小问展示了不同范围内的角的三角函数求值最后都转化为锐角三角函数的求值问题，引导学生注意观察，体会知识逐步转化的过程，并能在此基础上通过小组合作总结出任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的一般步骤。意在让学生认识到“不求一步到位，只求步步到位。”养成注重探究问题的良好认知习惯。
例 2 的教学略显突兀，只与本节课的公式二有关，意在培养学生联想与想像的能力，如时间允许，可进行教学，加强对于公式二的理解应用。
五、反馈练习，巩固 提高 【教学安排】
学生练习两组 【设计意图】
在师生共同完成例题教学后，向学生提供两组任意角的三角函数的求值训练，
目的是为了提高学生的认知水平以及及时进行知识的反馈矫正，使学生始终面对适度的挑战，并进一步巩固所学的知识。
六、 回顾反思，感悟升华 【教学安排】
开放式、互动性小结 【设计意图】
通过开放式小结，使学生学会学习，培养学习的主动性。这个小结意在提炼今天这节课的主要内容，通过回顾反思，关注了学生的情感态度价值观，也梳理了学生学习的情意过程。
七、 作业布置，拓展延伸 【教学安排】
必做题与思考题 【设计意图】
设置必做题、思考题的目的是为了实施因材施教，选择不同层次的练习，有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力．教师通过这些练习和作业，及时回授评定的结果，以期有针对性地进行答疑和讲解，突出了知识的巩固过程，在此基础上，可以帮助学生克服思维障碍。
