体会使周围的流体产生加速度，从而受到流体的反作用力.该阻力与物体的加速度之比即为附加质量，其对于研究流体中物体的运动特性非常关键.
早期文献[1]介绍基于势流理论在无界域中和固壁附近运动回转体的附加质量计算方法.20世纪末，随着计算机技术和硬件设施的快速发展，CFD得到空前开发，并取得一定成就.林超友等[2]采用Hess-Smith方法编制程序计算近海底水下航行体的附加质量；马烨等[3]利用FLUENT的动网格技术，计算飞艇在6个自由度方向上的附加质量；朱仁传等[4]和罗敏莉等[5]对船体二维横剖面绕流进行数值模拟，计算船体的附加质量和阻尼；黄旋等[6]和弓三伟等[7]研究带空泡弹性物体的附加质量的数值分析方法；傅慧萍等[8]采用动网格技术计算在全黏流体中运动物体的附加质量；周景军等[9]基于相对运动的思路，在动量方程中添加源项计算水下航行体附加质量.
本文采用CFD软件CFX，研究流体中沿轴向运动圆柱的附加质量.理论上，流体的黏性对物体的附加质量没有影响，但在实际中会存在差异，本文分别采用理想流体和黏性流体计算物体的附加质量.首先，基于相对运动原理使来流加速流过静止的圆柱体，得出在无限流体域中不同长细比圆柱的附加质量，由此探究流体黏性和圆柱的长细比对附加质量因数的影响；然后，利用动网格技术研究在管流中沿圆管轴向运动的圆柱的附加质量，数值模拟结果表明圆柱的附加质量随管径比的减小而增大，并进一步揭示理想流体和黏性流体中流场运动形态的差异；最后，根据计算结果给出理想流体域中圆柱附加质量与长细比和管径比的拟合函数.
1流体中物体附加质量的数值计算
理论分析表明，因物体在流体中加速运动引起的附加质量仅与物体的形状和周围流体的密度有关[10]，与物体自身的加速度和流体的黏性无关.根据附加质量与阻力的关系，只要确定物体在加速运动时所受的流体总阻力与定常阻力之差，即可计算出物体的附加质量.
当考察物体在无限流体域中进行定加速运动时，采用相对运动的原理求解其附加质量较为简单，即认为流体以恒加速度绕流过静止的物体，相当于整个流体域在作与物体运动反向的加速运动.根据相对性原理，相当于流场受到等效“重力”的作用，其“重力加速度”即为物体运动的加速度.按此方法计算出流体总阻力
根据式（1），分别采用密度为1 kg/m3的理想流体和黏性流体进行计算.设置无限流体域的边界条件：入口处的均匀来流以Vx=0.1t m/s规律线性变化，即物体的加速度为0.1 m/s2；流域的出口设定为开放边界.当流体为理想流体时，流体沿壁面可以相对滑动[10]，故侧面边界和圆柱壁面均为自由滑移边界；采用黏性动力系数为10-6
Pa·s的流体时，考虑无限流体域不计边界尺寸的影响，设置侧面边界为自由滑移边界，圆柱壁面为无滑移壁面.采用层流
模型进行分析.时间离散均采用2阶向后欧拉差分格式，总时间为0.060 s，计算时间步长为0.002 s.
以β=1的模型为例，圆柱总阻力时程曲线见图3.理想流体在对应的每个时间步计算相应的定常阻力值为0，与理论计算一致.[10]由式（2）计算理想流体中t=0.060 s时圆柱的附加质量因数为0.501 1.当流体为黏性流体时，计算t=0.060 s时圆柱所受的定常阻力为
3.708 03×10-6 N，修正后的附加质量因数为0.501 3.数值计算得到不同长细比圆柱的附加质量因数，见表1.
β=1时圆柱变为圆球，其在无限流体域中的附加质量因数理论解为0.5，由表1可知，计算误差在1%以内，表明此方法具有较高的精度.由图3可知，圆柱在理想流体和黏性流体中总阻力的收敛情况差异不大，在最初几个时间步有较大的波动，随后都收敛为一个稳定的值，由此得到的圆柱附加质量差异较小，验证物体的附加质量与流体的黏性无关这一结论.表1中圆柱的附加质量因数随β的增大而相应减小，可认为当β足够大时，附加质量因数的值很小，相应的惯性阻力作用的影响也很小.
为探究β与附加质量的关系，且根据附加质量与流体黏性无关的结论，由表1的数据拟合理想流体中圆柱附加质量因数C*与β的变化关系，即
3有限流体域中圆柱的附加质量
物体在有限流体域（管流）中进行变速运动时，由于圆管边界到圆柱壁面的距离较近，在无限流体域中均匀来流绕过静止圆柱的情况不再适用，故采用动网格技术模拟物体运动，使周围的静止流体跟随物体一起运动.圆柱沿轴向进行定加速运动时，计算域前后两端尺寸的影响较大，因此将图1中的尺寸扩大为L1=L2=150d，圆柱的两端仍分别放置2个d=1 m的半球体，L=6 m.
为研究在有限域中固壁边界距离对物体附加质量的影响，以圆管直径与圆柱直径比即管径比α=Dt/dm分别为5.0，2.0，1.5，1.4，1.3，1.2和1.1等7种情况建立模型，计算圆柱的附加质量，其中Dt为圆管直径，dm为圆柱直径.
仍采用单位密度的理想流体和黏性流体，采用动网格技术模拟圆柱在静止管流中的运动，加速度为0.01 m/s2.圆管出入口边界均设置为网格静止的开放边界.对于理想流体，圆管壁面设定为网格静止的自由滑移壁面，圆柱壁面为指定网格位移Dx=0.5at2的自由滑移壁面；对于黏性流体，圆管壁面设定为网格静止的固壁面，圆柱壁面为无滑移壁面，并指定网格位移Dx=0.5at2，湍流模型采用SST模型.计算均采用2阶向后欧拉差分格式进行时域积分，总时间为1 s，时间步长为0.05 s.
以α=1.1的计算模型为例，对其数值结果进行分析.圆柱总阻力时程曲线见图5.理想流体中的黏性阻力为0，由式（3）计算得到t=1 s时圆柱的附
加质量因数C=4.140 2.流体为黏性流体时，计算t=1.00 s时刻圆柱所受的定常阻力，包括黏性阻力和压差阻力.对流场进行稳态分析，绘制其对称面上圆柱尾部流场的流线（见图6a），观察到圆柱尾部的流场有漩涡产生，流体发生严重分离，此时定常阻力值较大，为0.001 642 66 N，扣除定常阻力值，由式（3）计算得到圆柱的附加质量因数C=4.124 3.α取其他不同值时黏性流体中圆柱尾部的流场形态见图6，附加质量因数C的计算值见表2.
由表2可知，圆柱的附加质量随α的减小快速增大，这是由于固壁边界限制圆柱前部的流体向侧向运动，使得圆柱需要推动前方更多的流体进行加速运动，从而引起附加质量的增大.表中的数据显示，α=1.1时黏性流体中圆柱的附加质量因数偏小，推断是由于黏性流体中圆柱尾部流场发生严重分离，圆柱运动时带动的流体质量减少.由图6可知，在有界域中理想流体和黏性流体流场的流动形态差异较大，黏性流体中圆柱尾部易产生漩涡，发生严重的流体分离现象，故黏性流中圆柱所受的定常阻力值较大，但随着α的增大，圆柱末端有漩涡的尾流运动逐渐减弱.由表2拟合理想流体中附加质量因数C与α的变化函数，绘制相应的拟合曲线，见图7.
比较表3中的数据可知，利用动网格技术计算得到的附加质量因数与基于相对运动原理计算得到的附加质量因数差异较小，验证动网格技术计算结果的可靠性.
4结论
通过建立一系列计算模型，得出在不同边界条件下不同尺寸圆柱的附加质量，结论如下.
1）基于相对运动的原理，在无限流体域中可采用均匀来流绕流静止圆柱的方法精确地计算不同长细比圆柱的附加质量，且长细比越大圆柱的附加质量因数越小，验证在无限流体域中圆柱的附加质量因数与流体黏性无关这一结论.
2）采用动网格技术模拟圆柱在不同直径的圆管中进行定加速运动的情况，得知随着圆管直径的减小，圆柱的附加质量快速地增大，意味着圆柱要推动更多的流体作加速运动.
3）在有限黏性流体域中，圆柱尾部的流体发生严重分离，形成有漩涡运动的尾流，使圆柱受到较大的压差阻力.
4）理论认为物体的附加质量与流体的黏性无关，但在有限流体域中，理想流体与黏性流体的流场形态有较大的差异，对物体的附加质量有一定影响.
5）给出圆柱的附加质量因数与长细比及管径比的函数关系，具有很大的应用价值.
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（编辑武晓英）
