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【摘要】区间数作为一类特殊的模糊数，其性质和运算法则在很多文献中进行了讨论，根据前人所做的大量的有关区间数运算法则的基础的研究在此对其运算法则做了系统的研究.
【关键词】区间数；运算法则
【中图分类号】O159 【文献标识码】A
一、引 言
区间作为实数的集合在经典数学中已有明确的含义.近年来随着模糊数学这门新学科的兴起，在其理论完善的诸多方面都用到了有关区间模糊数的四则运算，如利用区间数的排序进行的模糊决策，还有在模糊规划中将模糊规划转化为区间规划来解决等等，而目前对区间数的运算法则描述种种，很多学者提出了广义区间数、正区间数、负区间数、零区间数、标准区间数、虚区间数等等不同的概念，以便使有关区间数的运算表达式更为简洁实用.本文将诸多学者对有关区间数的运算法则做一个系统的研究.
二、区间数的运算法则
在文献[1]中给出了区间数的定义：I=[a，b]={x"a≤x≤b，a，b∈R}叫作一个区间数，并且给出了区间数的运算公式：
这里对0[c，d]时[a，b]÷[c，d]没有定义，而且在一般情况下分配律是不成立的，加法与减法、乘法与除法不再像实数的四则运算那样是互逆的运算.
文献[2]在区间数加法、减法、乘法、除法运算的基础之上推导出了区间数的乘方与开方运算，并给予了严格的证明，从而丰富了区间数的运算性质.文献[2]中关于区间数的加法、减法、乘法、除法同文献[1].下面直接以两个定理的形式给出区间数的乘方与开方运算：
定理1（区间数的乘方运算）：n∈N，[a，b]n=[min{an，bn}，max{an，bn}]，特别的，当a≥0时，n∈N，[a，b]n=[an，bn].
定理2（区间数的开方运算）：n∈N，n[][a，b]=[n[]a，n[]b]，a>0.
定理的证明可以参考文献[2]，在该文献中还给出了区间数乘方与开方运算的应用.
文献[3]给出了广义区间数的定义：将实数集b]，[a，[a|b]和[a，b]称为广义区间数，其中[a=limb→+∞[a，b]，b]=lima→-∞[a，b]，[a|b]=b]Y[a，且有当a≤b时有[a|b]=R，以及定义了同符号的广义区间数、不同符号的广义区间数、有限的广义区间数和无穷的广义区间数，在此基础上给出了广义区间数的四则运算，由于广义区间数的加法、减法的运算较简单，故在此结合文献[4]直接以几个定理的形式给出广义区间数的乘、除法的直接表示法：
定理3（广义区间数的乘法运算）：
1）若A为一个同符号的广义有限区间数，则：
交换A，B的位置即可得b≤0，c≥0时的情况以及采用取极限的方法便可以得到无穷时的情况，其他结论可以参考文献[3]的两个推论.
2）若A，B为不同号广义区间数时，则
定理4（广义区间数的除法运算）：
文中还定义了广义逆元，用四个定理给出了广义区间数的逆运算，这也大大丰富了区间数的运算为解区间数方程奠定了理论基础.
在上述提到的有关区间数的运算法则中我们发现其加法与减法不是互逆的，乘法与除法也不是互逆的，为了适应实际应用的需要和更加完善区间分析理论及模糊数学理论，因此我们就有必要提出一种更适宜的运算规则，基于此文献[5]引入了虚区间、区间模以及广义区间数的概念，文中将虚区间和实区间统称为广义区间.它以几个命题的形式给出了区间数的运算性质并给予了证明.文中还定义了区间数的另外一种运算：区间数的取大取小运算以及区间数的模运算.
文献[6]在回顾了泛灰数的四则运算法则的基础上给出了区间数的标准表示，并论述了标准区间数的四则运算法则与泛灰数的内在联系及其应用前景.在此就直接给出标准区间数的标准计算方法：
容易证明标准区间数的标准计算方法与一般区间数的运算法则是等价的，而且其加法与减法、乘法与除法分别是互为逆运算的，这又大大扩大了区间数的运算功能.
文献[7]鉴于许多有关区间数的运算的性质中加法与减法、乘法与除法都不是互逆的运算，故在此以定义的方式给出了区间数的逆运算定义分别为：第二类加法运算、第二、三类减法运算、第二类乘法运算以及第二、三类乘法运算，并将这些运算性质应用于求解一些简单的区间数方程.
【参考文献】
[1]贺仲雄.模糊数学及其应用[M].天津科学技术出版社， 1984：76-94.
[2]欧伯群.Fuzzy数中区间数的乘方与开方[J].广西教育学院学报，2000（4）：95-97.
[3]周俊健，张志海，刘绍英.广义区间数的四则运算[J].河北煤炭建筑工程学院学报， 1996 （2）： 51-55.
[4]刘绍英，张志海，周俊健.广义区间数的四则运算（续）[J].河北建筑科技学院学报， 1997， 14（3）：58-62.
[5]苏连青，李法朝，仇计清.广义区间数及其运算[J].河北轻化工学院学报， 1997， 18（1）：11-14.
[6]王清印，吕瑞华.区间数的标准表示及其四则运算法则与泛灰数的内在联系[J].数学的实践与认识， 2005， 35（6）：216-221.
[7]谢季坚，刘承平.模糊数学方法及其应用[M].武汉：华中理工大学出版社，2000：169-254.
