【摘 要】数学素养是一种“人们内隐的、逐步形成的”能力、素质或者素养，它是决定学生未来发展的决定要素，它远比金牌和分数更重要。在数学教育中，要培养学生的数学素养，可以从情感教育、非演绎思想、问题意识、应用意识、分层教学和科学人文精神等方面入手。
【关键词】数学素养 情感教育 非演绎思想 应用意识 大众数学 科学人文精神
【中图分类号】G【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）02B-0004-03
2012年3月20日新华网等媒体报道，中南大学校长张尧学院士破格聘任该校数学与统计学院刚毕业不久的本科生刘路为教授级研究员，并给予100万元重奖。消息一出，无数人的目光聚集到这位破解了世界数学难题，被人们称为“数学奇才”的青年身上。那么怎样的成长经历使刘路有如此过人之处？他是平时的高分考生？他曾拿过数学奥赛金牌？这些问题都引起了大家的浓厚兴趣。随着记者的调查，人们发现刘路在高中时的学习成绩并不突出，只能算中等偏上，而且他从未参加过奥数班，更没拿过什么金牌。这样的结果让大家感到很意外。但是刘路的昔日班主任兼数学老师，却这么说，他的成功并不意外。实际上，刘路初二开始喜欢数学，当一些同学还在为教科书上的习题抓耳挠腮时，他便开始自学数论，初三时，他已读完对学生来讲等同于天书的《古今数学思想集》，高中开始尝试阅读全英文数学书籍。在老师的印象中，刘路的最大特点是他对数学一直有着浓厚的兴趣，这种兴趣不是简单地以取得成绩为目的，在平时的学习中他喜欢自己找题做，经常会问一些“怪问题”，在中学阶段他就已显露出一定的独立思考能力。在大学期间他开始攻克西塔潘猜想，并取得成功。（西塔潘猜想又称拉姆齐二染色定理，是英国数理逻辑学家西塔潘于20世纪90年代提出的一个猜想，在组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理要解决以下的问题：要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识）正是这种良好的数学素养，而不是所谓的金牌和高分，就了刘路今天的辉煌。
也许，在普通人的眼光里，只有平时成绩优异、拿过奥赛金牌的学生，才是尖子生。写到这里，笔者又想起以前媒体曾做过的一次采访。当年一位学生因获得国际奥数金牌而被保送至某顶尖高校，一般人都认为这位学生在数学上已经无所不通，但当记者采访该校数科院的一位教授时，教授给出了中肯的建议，他认为学生能拿到金牌，只能说明他们在解题技巧上有一定专长，但他们的数学素养还远远不够，要想在数学上取得一定成绩，还需要学习许多的数学知识、技能和数学思想方法，提升数学能力，增强数学意识，树立数学信念等。一句话，数学素养比金牌和分数更重要，数学素养才是决定学生未来发展的决定因素！
众所周知，中国学生的基础扎实。在各类国际数学测试中，我们的数学成绩都明显高于其他国家，在教育投入相对较少的情况下，这确实是一个奇迹。同时，我们也应该清醒地看到，如果用更高的理念和长远的眼光来审视当前的数学教育现状，我们的学生在数学素养上还存在一定的缺失，具体表现在以下几个方面：一是缺乏数学学习兴趣。学生对数学无学习动机，更谈不上学习兴趣，感到数学枯燥、难学已成为学生的共识，但是学生为了升学又不得不去学习数学。二是缺乏数学问题意识。我们的学生习惯于做现成的题，而不会主动提出问题和自己的见解，但我们知道有时候提出问题比解决问题更重要，正如华罗庚教授在一本小册子中写到的那样“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样找出公式来”。三是缺乏数学应用意识。长期以来，我们的数学都是以概念和数学基本原理（公理、定理、公式、法则等）以及例习题的纯形式数学的模式展现在学生面前，以其高度抽象、高度严谨的枯燥形式出现，与实际相距较远。学生不知道这些数学从何而来，也不知道将用于何处，只知道疲于应付那些技巧性大、综合性强的数学难题，数学教育的全部似乎就是从概念到习题。四是缺乏数学创新能力。我国的数学教育曾在应试教育的指挥棒下，忽视数学教育的文化价值，缺乏社会理想和人文关怀，知识结构偏狭，创新能力偏低。相比于金牌和分数，培养学生的数学素养是当下实施素质教育和学生终身发展的迫切要求，正如 课程标准在课程总目标中提出的那样，使学生在数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
关于数学素养的内涵，人们有着不同的理解，“有人认为，数学素养是指以人的先天生理特点为基础，在后天的环境和数学教育影响下形成并发展的心理方面的稳定属性;也有人认为，数学素养是数学科学所固有的内蕴特性，是在人的先天生理基础上通过后天严格的数学学习活动获得的融于身心中的一种比较稳定的状态，是一种心理品质，等等”。无论是哪一种看法，它们“都把数学素养作为一种‘人们内隐的、逐步形成的’能力、素质或者素养，它是一种学生在数学方面的抽象的综合表现”。课程标准认为数学素养包含六个方面：数学双基、数学思想方法、数学能力、数学意识、数学信念和数学文化，这六个方面紧密相连，互不分割，共同发展。
课程标准对学生在数学方面的最终目标是，希望学生能够提高必要的数学素养。根据教育学和心理学的有关理论可以知道，作为具体知识和技能的数学，也许在人们走上工作岗位以后会被很快遗忘，但蕴含于其中的数学素养和科学人文精神将被长久保留下来，并将最终内化为人的综合文化素质的一部分，无论将来从事什么职业都将终身受益。对此许多专家、学者都有过精辟的论述，正如王梓坤先生在谈及数学的严谨性时所说的“这种思想方法不仅培养了数学家，也有助于提高全人类的科学文化素质，它是人类的巨大精神财富”。同样对于数学教育而言，我们的根本目的不仅仅在于考高分、拿金牌，而在于培养学生的数学素养，为学生的终身发展奠基。那么，在数学教育中又如何培养学生的数学素养呢？笔者结合自身的教学实践，谈谈自己的一点看法和做法。
一、数学教育必须要从单纯的认知教学转到认知和情感并重的教学，着力培养学生对数学的积极情感，使学生成为认知和情感的主体。
在教学过程中可以发现，对数学怀有积极情感的学生和对数学缺乏热情和兴趣的学生，他们的学习效果是截然不同的，前者总是全神贯注、反应积极的，学得轻松且富有成效，而后者多半是消极应付，甚至对数学产生恐惧和反感。因此，要想提高学生的数学素养就不能只顾认知领域的工作，必须了解学生的情感状态，注意培养学生对数学的积极情感。正如著名数学家G·波利亚所说：“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么它的数学教育就在最重要的地方失败了。”
刘路之所以取得今天的成绩，就在于他对数学的浓厚兴趣，而且这种兴趣并不是以取得高分和奖牌为目的。笔者在平时的教学实践中，积极探索培养学生数学兴趣的方法和途径。首先是降低教学起点，注重缓坡度。不能一开始就使得难度过大，挫伤学生的学习自信心，从而使学生失去对数学的兴趣，特别是在高一起始年级，这方面的问题显得尤为突出，高中学生数学成绩的分化往往就从高一开始。其次是及时关注和激励学生。在课堂教学中，不能只顾自己讲，更要及时关注学情，特别要关注学困生的反应，对待他们更要多一点鼓励，对他们出现的错误，不能一味地责备，而是要耐心地指导和激励。另外，结合数学教材中生动活泼的实例，激发学生对数学的兴趣。如在学习数列知识时，可以向学生讲解有趣的“兔子数列”，又如在学习向量知识时，可以向学生展示向量在物理中的广泛应用等。
二、重视非演绎思想在数学教育中的作用，培养学生独立思考的习惯和能力，着力唤醒学生的创新意识。
数学本身具有严密的演绎体系，演绎推理也是数学学习的重要内容，它主要是用来验证一些现成的结论。而要发现数学中的概念、法则、公式、定理，仅仅靠逻辑演绎推理是远远不够的，它还必须借助于观察、实验、直觉、归纳、类比、猜想等非演绎的思想方法才能完成。许多数学家总结发现真理的过程是“长期积累、偶然得之”，“大胆猜想、严格论证”。其实，就是我们平时的数学解题实践中，非演绎思想也起着非常重要的作用，一个优美的解题方法的获得往往要经过观察、尝试、综合等阶段，有时还要借助归纳、类比、猜想等方法才能完成。数学教育学的理论也表明，非演绎思想在人的创造思维能力中占举足轻重的作用，起着非智力因素与智力因素之间的桥梁和中介作用，是对学生实施创新教育的基本内容。
因此，我们必须重视非演绎的思想方法在教学中的作用，要把纯演绎式的教材体系还原为生动活泼的数学创造性思维活动。笔者在平时的教学实践中尝试从以下诸方面培养学生的非演绎思想和创新意识。一是利用数学中的“形”，创设数学情境，对学生进行观察、直觉等训练。如在学习椭圆的标准方程时，通过展示天体的运行轨道和平面截圆锥面的截面图形等，让学生对椭圆有整体的印象，为后续的学习奠定基础。又如在处理导数与函数的综合问题时，可以先通过图象得到直观上的判断，然后再形成严格的论证等。二是借助数学知识的广泛联系，利用归纳、类比和猜想等手段组织教学。如在学习立体几何时，可以用学生已有的平面几何的知识进行类比教学。又如在求特殊数列的通项公式时，可以让学生先求出它的前几项，然后再进行大胆猜想等。三是注重数学中的“活动实验”和“思想实验”。如在学习解三角形时，组织学生对现实生活中的物体进行测量和计算。又如在得到一个最优解法之前，教师让学生进行充分的思想实验，允许他们发表不同的见解，甚至是错误的想法等，在这样的过程中，进一步培养学生独立思考的习惯和能力。
三、数学教育不能“烧中段”（更不能“烧焦中段”），必须在课堂教学中展示知识的生成过程，着力培养学生的问题意识和应用意识，让学生知道数学的来龙去脉。
长期以来，我们的数学教育高度重视对学生进行知识和技能的训练，这种教学虽然能使学生在计算和推理方面提高熟练程度，但是它带来的副作用也是巨大的。一方面，它加重了学生的负担，使成绩优秀的学生感到厌倦，使学习吃力的学生感到忧虑和不安，最终使学生远离数学。另一方面，这种教学方式只重结果，不重视数学知识的发现过程，我们的学生习惯于接受现成的结论，缺乏问题意识，而且这种方式培养出来的学生缺乏应用数学解决实际问题的意识和能力，理论与实践严重脱离。
为此，笔者在平时的数学教学中，首先注重让学生理解概念是如何形成的，结论是怎样探索和猜测到的，其证明的思路和计算的方法是怎样形成的。如学习复数概念时，让学生了解复数产生的背景及由来。又如学习等比数列的求和公式时，引导学生探索不同的证明方法等。其次是有了数学结论以后，了解结论在实际中的意义和作用，利用数学课外活动的机会让学生学以致用。如学完存款利息的计算后，布置学生对家庭的理财方式进行比较等，培养他们应用数学的意识。另外，在课堂教学中渗透数学史知识，让学生了解数学的产生、发展和现状。如在学习导数时，向学生讲解导数的发展历程。总之，我们的数学教育要让学生懂得数学的“来龙去脉”。
四、数学教育必须适应不同层次学生的需求，处理好“英才数学”和“大众数学”的关系，特别是要注重面向全体学生的“大众数学”。
在应试教育的大背景下，因为数学作为筛选的手段，所以数学内容窄而深，数学难学、试题难做。实际上这些艰深的数学知识对于今后专门从事数学研究的人来说也许是必须的，但对于绝大多数人来说是没有必要的。大部分学生走上工作岗位以后，直接使用这些数学知识的机会很少，而且那些繁难的习题、抽象的概念及形式化的知识体系会很快被学生遗忘。长期以来，我们的数学教育是让绝大多数人去陪少数“未来的数学家”去学数学，这显然不利于学生的个性发展。随着素质教育的实施，数学教育必须要从“英才教育”转向面向全体学生的“大众数学”教育，数学教育必须适应不同层次的学生的需求。正如我国数学家严士键一再强调的那样，“数学将成为21世纪的每一个合格的社会成员的素养、知识和技能的一个必备的重要组成部分”。
在平时的教学中，笔者注意分层教学，对于不同类型、不同需求的学生，主动调整教学内容及教学策略。如对于文科班学生注意降低教学难度，重在培养他们对数学的兴趣，掌握基本的知识和技能，学会用数学的观点去观察与处理现实世界中的事物及相互关系即可。当然，对于今后专门从事科学研究的学生而言，可以传授抽象的数学原理，建构严密的数学理论体系。在布置作业时，注意分级要求，让不同的学生学到不同的数学。如笔者将课外作业分为A，B，C三个等级，一部分基础薄弱的学生只需完成A级，中等学生完成A和B两级，而对于在数学上有特长的学生则应完成A，B，C三级，这样就能使不同的学生在数学上得到不同的发展。
五、数学教育绝非单纯的知识传授、技能训练，更应注重培养学生的科学人文精神。
中国古代的“数学主要采用算法化的体系，寓理于算，与东方文化、思维方式交融，缺乏的是对科学理性的崇尚和追求”。而“欧式几何不仅仅是创造了许多真理，更重要的是创造了一种深蕴于古希腊文化中的科学人文精神，这种精神使他们在包括数学在内的几乎所有的古代科学文化领域取得了辉煌的成就”。
“数学中的科学人文精神是一种文化，它不具有实体存在，所以它的培养也必须渗透在数学知识的传授过程之中”。笔者在平时的教学中，努力将数学的学术形态转化为数学的教育形态，“充分暴露科学发现、发明创造的过程，让学生不仅从中学到知识，而且通过过程的学习，从中掌握方法，从‘发明创造‘中体验科学人文精神”。如在学习导数概念时，让学生经历从割线与切线的斜率，平均速度与瞬时速度，平均加速度与瞬时加速度，平均变化率与瞬时变化率等过程，了解导数的概念。在这个过程中，学生不仅理解了导数概念的抽象过程，更体会到蕴涵在导数中的科学人文精神。发挥学生的主体性，让学生有一个主动探索的空间。在课堂教学中，笔者通过精心设计问题情境，引导学生进行主动探究，允许学生发表不同的见解，培育学生自主探索、敢于质疑的科学精神。如讲解必修1《函数模型的应用》时，笔者鼓励学生对教材中不科学的表述进行大胆质疑。在教师的帮助和学生的合作下，引导学生去发现教材中的瑕疵，并共同改正了教材中的表述。通过这次教学，在学生心中树立了追求真善美的科学精神。在平时的教学实践中，笔者除了布置学生一定的课外习题，还指导学生进行广泛的数学阅读，加强学生对数学整体思想方法的理解和领悟。如在讲完《函数模型的应用》后，笔者推荐学生阅读《数学建模》等书籍。又如在高一暑假期间，笔者推荐《古今数学思想集》等给学生阅读。
指导学生养成良好的数学学习习惯，树立正确的数学观，具备良好的数学素养，是培养科学人文精神的一个重要手段，它比金牌和分数更重要。
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（责编 卢建龙）
