摘要：利用数学软件强大的符号计算功能，我们可以改变传统课堂的教学方式，并收到良好的教学效果。本文通过用Mathematica解数列递归关系的例子，来说明Mathematica在组合数学教学中的巨大功效。数学在某种程度上也可以变成一门“实验科学”。
关键词：组合数学；Mathematica；递归关系
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）23-0114-02
一、引言
组合数学是数学的一个基本分支学科，也是高等院校数学专业的专业必修课，它主要研究离散对象在各种约束条件下的安排和配置问题。近年来计算机技术的飞速发展对我们的生活有了越来越大的影响。计算机计算速度的提升，使我们能够解决许多以往难以想象的大规模的计算问题。但计算机裸机并不能自己进行运算，它需要相应的程序作为基础，而这些程序的基础又往往是一些组合算法，因此组合数学在计算机技术的发展中起着非常重要的作用。反过来，计算机技术特别是数学软件也可以在组合数学的教学中发挥作用。现在有几款比较成熟的数学软件，比如Mathematica，Maple，Matlab，它们都具有强大的数值计算和符号计算功能，可以给我们的数学研究与教学带来极大的便利。在教学中适当地使用这些软件，同时教会学生使用这些软件，可以激发学生的学习热情，取得更好的教学效果，同时也让学生有一技之长，对他们日后的工作和学习都是很有帮助的。本文通过用Mathematica求解数列递归关系的例子，来说明Mathematica在组合数学教学中的巨大功效。
二、使用Mathematica求解数列递归
（一）求解线性齐次递归关系
求解线性递归关系（齐次或者非齐次）是组合数学的重要内容，我们举一个例子来说明：an=5an-1-6an-2，n≥2。在传统的数学教学中，我们采用特征方程的方法：上述递归关系的特征方程是x2=5x-6，两个特征根是x1=2，x2=3，因为两个特征根不相等，所以数列的通项公式是an=c12n+c23n，其中c1，c2是任意的常数。
在Mathemacita中，求解递归关系的命令是RSolve。我们只需要在Mathematica的工作环境中输入
RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]}，a[n]，n]
（注意我们要用两个等号==来表示相等，一个等号=表示的是赋值）然后运行（按Shift+Enter），就得到了以下结果
a[n] 2n C[1]+3n C[2]
注意在Mathematica中，两个任意的常数是用C[1]，C[2]来表示的。
如果给定了初值，比如a0=1，a2=4，那么我们只需要改一下命令
RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]，a[0] 1，a[1] 4}，a[n]，n]
运行之后就得到
a[n] -2n+2 3n
（二）求解线性非齐次递归关系
求解线性非齐次递归关系是一个比较困难的问题，主要的难点在于要先找到一个特解。虽然也有现成的规则，但因为非常烦琐而难以记忆，学生要么记不住这些规则，要么记住了但不明白为什么，实际的掌握效果是很差的。另外，求解一个非齐次的递归关系往往需要较长的时间，一般程度的学生大约需要花十分钟，而且很容易算错，这导致学生不会做很多的练习，计算的经验相当缺乏。利用Mathematica，我们可以在短时间内演算大量的例子，并且通过改动递归关系中的参数，用直观的结果让学生体会解的细微变化，这样可以给学生留下较为深刻的印象，并激发他们学习的热情。
1.比如我们要求解an=5an-1-6an-2+（n2+2），我们在Mathematica中输入
RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）}，a[n]，n]
运行后就能得到
a[n] 1/2（17+7n+n2）+2n C[1]+3n C[2]
初始的非齐次项n2+2是n的二次多项式，特解（n2+7n+17）也是n的二次多项式，很符合常理，也符合学生们的预期。
2.如果我们改变一下非齐次项，多一个2的幂次，变为an=5an-1-6an-2+（n2+2）2n，它的解会有什么变化呢？我们在Mathematica中输入
RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）2^n}，a[n]，n]
运行后得到
a[n] -（1/3）2n（288+121n+21n2+2n3）+2n C[1]+3n C[2]
学生在这个时候会很惊讶：为什么特解-（2n3+21n2+121n+288）2n中包含n的三次方呢？比非齐次项中n的次数高了一。
3.我们再改变一下非齐次项，多一个3的幂次，变为an=5an-1-6an-2+（n2+2）3n，解会如何变化呢？我们在Mathematica中输入
RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）3^n}，a[n]，n]
运行后得到
a[n] 1/2 3n（-162+61n-9n2+2n3）+2n C[1]+3n C[2]
特解（2n3-9n2+61n-162）3n中也包含n的三次方，比非齐次项中n的次数高了一。
4.我们继续改变非齐次项，多一个5的幂次，变为an=5an-1-6an-2+（n2+2）5n，解会如何变化呢？我们在Mathematica中输入
RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）5^n}，a[n]，n]
运行后得到
a[n] 1/54 52+n（104-39n+9n2）+2n C[1]+3n C[2]
特解（9n2-39n+104）5n是的二次多项式，比非齐次项中n的次数一样。
通过对比上面四个例子，学生们有了一个模糊的认识：如果非齐次项含有特征根的幂次，则特解中n的次数会升高；否者就不会升高。我们的教学目的在很大程度上也就达到了，因为我们成功引起了学生的兴趣，并且让他们自己总结出了规律。
5.我们还可以更进一步，举一个更复杂的例子：an=3an-2-2an-3+（n2+2）。这是一个三阶的线性非齐次递归关系，它的特征方程的三个根是1（二重根）和-2。我们在Mathematica中输入
RSolve[{a[n]==3a[n-2]-2a[n-3]+n^2+2}，a[n]，n]
运行（并且用命令Simplify[%]简化之后）得到
a[n]80/243+（79n2）/108+（5n3）/27+n4/36+（-2）n C[1]+C[2]+n（-313/162+C[3]）
此时特解中包含n的四次方，比非齐次项中n的次数高了二！为什么会这样？学生们发出这样的疑问。这正是一个解释理论的良机。
笔者在课堂上完整地演示过上面的过程，外加2.5中例子的变形，收到了良好的效果，学生的求知欲确实被激发出来了，并且能够自己把规律总结出来。
（三）求解非线性的递归
Mathematica在求解非线性的递归关系方面也有很高的效率。比如我们要求解递归关系an=+1，这是一个分式线性变换，它也可以用特征方程的方法求解，但大部分学生难以掌握其要领。在Mathematica中输入
RSolve[{a[n]==2/a[n-1]+1}，a[n]，n]
运行后就得到
a[n]-（（-1/2）n+4 C[1]）/（（-1/2）n-2 C[1]）
三、总结
借助数学软件强大的符号计算能力，我们可以在极短的时间内向学生展示很多的例子。通过改变递归关系中的参数，学生观察到了解的性状的变化，这个反馈是很及时的（只需几秒钟），因而学生们可以总结出解对参数的依赖关系。结合了现代技术的教学方式，我们可以不强求理论的完备性，也不必拘泥于“定义——定理——例子”的授课模式，而是以启发为主，通过例子向学生展示具体的数学，让学生在观察中总结规律，把数学变成一门“实验科学”。在学生有足够的兴趣的时候，我们就可以讲解现象背后的原理，或者鼓励他们自己去探索背后的原理。
四、致谢
本文受到北京市教委2013北京市共建项目人才培养项目：“数学人才培养模式改革”的支持。
参考文献：
[1]南基洙.组合数学[M]，北京：高等教育出版社，2008.
[2]洪维恩.数学运算大师Mathematica 4[M]，北京：人民邮电出版社，2002.
作者简介：张汉雄（1983-），男，浙江海宁人，博士，讲师，研究方向：数学物理。
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