二元三次不定方程ax3+by2=n整数解的初等解法

形如ax3+by2=n(a，b，n，x，|y|∈N)（1）的二元三次不定方程，迄今为止，还没有它的一般解法，本文将给出这类不定方程的初等解法.

我们约定，把正整数集合记作N.

定理 解方程（1），把满足x≤3n-ba（2）的x值代入|y|=n-ax3b（3）中，当 n-ax3b∈N时，则得方程（1）的两组整数解（x0，y0），（x0，-y0）.

证明 由（1），得|y|=n-ax3b.当 n-ax3b∈N时，推得n-ax3b≥1，n-ax3≥b，x3≤n-ba，x≤3n-ba，［x］=x，x≤3n-ba，可知x为不超过 3n-ba的正整数，把这样的x值代入（3）中，有某个x0值，使 n-ax30b=y0∈N，则得方程组(1)的两组整数解（x0，y0），（x0，-y0）.

例1 解不定方程3x3+4y2=124.

解 a=3，b=4，n=124，x≤3n-ba=3124-43=［340］=［3.42］=3，x=1，2，3.

当x=3时，代入(3)，|y|＝124-3×334=434N；

当x=2时，代入(3)，|y|＝124-3×234=5∈N，得两组解(2，5)，（2，-5）；

当x=1时，代入(3)，|y|＝124-3×134=112N.

故原方程只有两组整数解(2，5)，（2，-5）.

例2 解不定方程3x3+y2=84.2.

解 原方程化为15x3+5y2=421，a=15，b=5，n=421，

x≤3n-ba=3421-515=［327.73］=［3.027］=3，x=1，2，3.

当x=3时，代入（3），|y|＝n-ax3b＝421-15×335＝165＝4∈N，得两组解(3，4)，（3，-4）；

当x=1，2时，经验证|y|＝n-ax3bN.

故原方程只有两组整数解(3，4)，（3，-4）.

例3 解方程4x3+7y2=7087.

解 a=4，b=7，n=7087.

x≤37087-74=［12.10］=12，x=1，2，3，…，12.

当x=12时，|y|＝n-ax3b＝7087-4×1237＝5∈N，得原方程的两组解(12，5)，（12，-5）；

当x=10时，|y|＝n-ax3b＝7087-4×1037＝441＝21∈N，又得两组解(10，21)，（10，-21）；

当x=1，2，3，…，11时，都有|y|=n-ax3b=7087-4×x37N.

故原方程有四组整数解(12，5)，（12，-5），(10，21)，（10，-21）.

推论 满足不等式x≤3n-ba的所有x值，使n-ax3bN，则方程（1）没有整数解.

例4 解不定方程5x3+6y2=328.

解 a=5，b=6，n=328，

x≤3n-ba=3328-66=［364.4］=［4.01］=4，x=1，2，3，4.

当x=4时，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×436＝86N；

当x=3时，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×336＝1936N；

当x=2时，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×236＝48N；

当x=1时，代入（3），|y|＝n-ax3b＝328-5×136＝3236N.

故原方程没有整数解.

解不定方程（1）的思想方法，是把x圈在某一个正整数范围内，即x∈{1，2，…，3n-ba}，取x值，一般从大到小，把x值代入原方程，便可求出y来，当求得y0=n-ax30b∈N，便找到了方程（1）的两组整数解（x0，y0），（x0，-y0），其解并不唯一.这里需要用到计算器，求立方根、平方根，计算有限个y值.尽管计算麻烦些，总比没有办法求解好.

【参考文献】

［1］华罗庚.数论导引.北京：科学出版社，1978.

［2］柯召，孙琦.谈谈不定方程.上海：上海教育出版社，1980.

［3］陈景润.初等数论（1）.北京：科学出版社，1978.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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