摘 要: 中学几何教学改革是现代数学教育的重要课题之一,在现代数学观点下,加强高等数学与初等教学的联系, 将高等数学中某些内容放到初等教学中去， 具有非常重要的意义.本文就此进行了探讨。
关键词: 现代数学 中学几何 无穷远元素
1历史的回顾
自从Euclid《几何原本》问世以来,,以现实空间为模型,以平行公理为特征的欧几里德几何在两千多年中一直占据着统治地位，直到19世纪30年代，数学的发展进入了现代数学阶段，这种情况才有所改变。我们知道，否定平行公理代之以非平行公理，诞生了非欧几何—罗已切夫斯基几何和黎曼几何。克莱因（Klein）以变换群的观点将几何学进行分类，把欧氏几何与非欧几何统一起来，从而证明了非欧几何与欧氏几何一样具有相对的真理性。Gauss Riemann(1826-1866)在经典微分几何的基础上，创立了现代微分几何学。欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何都是曲面几何，它们分别对应于的情况，从而使欧氏几何与非欧几何在另一种观点下统一起来。
在几何基础方面，Hilbert对欧几里德公理体系进行了现代化的改造，建立了希尔伯特公理体系，成为现代数学公理的范例。Grass mann(1809-1877)引入n维空间概念，把三维几何发展为多维几何。20世纪后，Weyl(1885-1955)等人又以集合论为基础，建立了n维欧几里德的结构理论，n维欧氏空间是代数结构（向量空间）和拓扑结构（内积空间）的复合结构。
从上述观点看中学几何，可以更深刻地理解某些几何概念的本质，沟通中学几何与现代数学的联系，并获得方法论上的指导。
2现代数学与中学数学
一般说来，现代数学是指19世纪30年代以后诞生的数学。它的重要标志是Lobatcheuskg(1792-1856),Gauss(1777-1855)和J.Bolyai(1802-1860)创立非欧几何。Galois(1811-1832)创立群论。Hamilton(1805-1865)创立四元数以及Camtor(1845-1918)创立集合论。从那以后发展起来的非欧几何，抽象代数，集合论，拓扑学，泛函分析，数理逻辑、数学基础都是现代数学内容。
现代数学与初等数学在研究对象和方法上都有显著的不同。初等数学以数和三维空间的图象为主要研究对象，而现代数学则以任意集合及其间的种种关系为研究对象。在现代数学中，数推广为一般集合的元素，数的运算推广为集合中元素的一般运算，函数推广为集合的映射。曲面、曲线推广为一般空间的任意流形等等。在思想观念和方法上现代数学以集合论为基础，普遍采用公理化方法和数学结构观点进行统一处理。
3思考——将无穷远元素引入中学几何
欧氏几何是中学阶段数学学习的一个重要组成部份。由于欧氏几何采用了比较自然的演绎法，有鲜明的几何直觉和几何语言，因此它在培养中学生的逻辑思维能力方面有重要的意义。从课程价值上看，可以说，没有那一门学科能够象几何这样如此丰富多彩。作为各种数学结构的模型，作为现代公理化思想的典范，作为培养思维能力的有效途径，作为把握宇宙空间的一种工具，作为理解现实世界的一种手段，几何课程具有非常突出的优点。随着中学数学教育改革的不断深入，我们看到高等数学的一些知识。例如：向量、简易逻辑、概率统计和微积分初步都已逐步放到中学数学中。本人认为，作为仿射几何知识的一部份，仿射几何中的一些基本概念，例如：单比、无穷远元素、平行射影等也可以引入中学几何教学。这些概念的引入将有助于加强中学生对几何学习的兴趣，加深对几何空间的理解，提高处理几何问题的能力。
我们知道，按照仿射几何的观点，所谓两直线平行就是两直线交于无穷远点。因此，在中学几何中引入无穷远元素是顺理成章的事情。所有初等几何中涉及到证明平行的问题均可以用交于无穷远代替。至于单比，只不过是有向线段的数量比，对于中学生来讲，掌握起来也不困难。我们知道仿射变换保持图形的结合性、平行性、单比、封闭图形的面积之比。将这些仿射几何的基本知识放到中学几何中去，将有助于学生对初等几何命题的证明，拓广他们对中学几何问题的认识，增强解决几何问题的能力。事实上，射影几何的重要定理“代沙格”定理，“梅内劳斯”定理，“塞瓦”定理，早已是初等几何中的内容。
综上，本人认为，可以将无穷远元素及仿射几何的一些基本知识放到中学的几何中。即改革现有的中学几何教学内容，这样有助于加深学生的几何想象，培养对几何空间的理解，提高处理中学几何问题的能力。
参考文献：
［M］ 胡炳生等编，现代数学观点下的中学数学，高等教育出版社□
