摘 要 根据非线性科学在认知心理学上的应用，文章分析了分形的自相似性、不规则性、迭代性在高等数学教学上的应用，来构建符合认知心理学观点的新式高等数学教学模式。
关键词 分形 自相似性 迭代性 认知心理学
中图分类号：G642 文献标识码：A
Higher Mathematics Teaching Cognitive View under Fractal Point of View
HU Xiaotao[1], WANG Zhenjuan[2]
([1] Faculty of Science, Shandong Jianzhu University, Jinan, Shandong 250101;
[2] Shandong Vocational College, Jinan, Shandong 250104)
Abstract According to the application of nonlinear science in cognitive psychology, analysis of fractal self-similarity, irregular, iteration on the teaching of higher mathematics, to build a new higher mathematics teaching model adapt to cognitive psychology perspective.
Key words fractal; self-similarity; iteration; cognitive psychology
1 分形的性质
分形是指不规则的、破碎的、分数的、不能以传统欧氏几何语言描述的点集。现代科学虽然广泛涉及到可以用经典微积分研究的集合，但近年来的研究发现，不规则集合比经典的几何图形能更好的反映自然和社会现象，分形就为研究不规则集提供了有力的工具。
分形的性质中包含有以下的特性：（1）集合A是自相似的，既集合的部分与其本身几何相似，包含了许多不同比例的与自身相似的样本。（2）集合A是不规则的，不能以传统欧氏几何语言描述的集合，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。（3）集合A是由一个迭代过程产生的，持续的迭代步骤得到A越来越好的逼近。①
2 数学认知结构
认知心理学认为，学习是对环境的刺激，按照其关系形成的一种新的认知结构的过程。所谓认知结构，就是学习者头脑里的知识结构，它是从教科书及课堂知识结构转化而来的。数学的认知结构就是学习者头脑里的数学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点组成的一个具有内部规律的整体结构。
学生在学习数学知识时，如果新知识与原有的数学认知结构中适当知识相联系，那么通过新旧知识的相互作用，新知识就被纳入了原有的数学认知结构。有意义的数学学习需要这样一个接受与纳入的过程，而接受与纳入过程，总需要经过识记、联系、存储、评价等认知活动过程。这个过程就是数学认知结构建立和完善的过程。
3 分形对教学认知的启示
3.1 高等数学的内容设置遵循自相似的原则
系统的自相似性指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的, 或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。在其整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在相似性。
高等数学教材内容设置的自相似性以较为广泛的同济大学第六版的一元函数微积分部分为例，在这个大的部分下，内容由浅入深，突出了引入概念—给出定理—实际应用的过程。一元函数微积分的内容设置中，通过学习函数与极限的概念及性质，引入一元微积分的符号系统，为导数与微分的学习打下基础。在导数与微分的基础上进行应用，给出微分中值定理与导数。同样，不定积分，定积分和定积分的应用重复了以上过程，反应出了教材内容的自相似性。
多元函数微积分部分和一元函数部分类似，整体与整体之间也具有自相似性。而具体到每一章的局部内容中，仍然具有这样的自相似性。在开始阶段，由物理问题引进相应的背景，在物理运算上进行总结，给出重要的概念和定理，然后给出例题，进行相关的应用和计算。在此基础上，教材改变原有的条件，设置更多的障碍，使得定理推广到更广阔的范围，使得例题解答和实际应用达到更高的技巧，使学生的数学应用能力得到提高。
而在每一节的过程中，也基本反应了相似的过程。教材内容设置的自相似性，使得面对新内容时，只要把握住这一点，以新内容的位置与以前熟悉章节进行比较，就可以得出该部分的重点所在及与前后内容的联系，能够使得对教材的理解有整体的把握，这无论对高校院校教师的数学教学还是学生学习都大有裨益。
3.2 高等数学的认知教学过程具有一定的分形特性
在科学发展的早期，以线性科学为模型的心理学研究占据主导地位。但近年来，非线性科学的发展改变了传统认知心理学中精确、客观、量化的研究方法。认知心理学作为一个演化、开放、复杂的研究对象，不可能用决定性的简单模式反应出心理现象的本质。②规则的线性系统在认知心理学中表现为不规则的，不能以传统几何语言描述的分形系统。
认知心理学的研究表明，无论何种专业，影响学生对高等数学学习的因素并不完全受限于智力的高低，很大程度上受制于学生的心理因素。对初学高数的学生而言，心理影响的表现更是如此，学生基础薄弱，对学习有恐惧心理。
在高等数学学习中，学生的认知态度，成就动机，学习基础，性格特点虽然对于学习水平具有一定的逻辑性作用，但最终还是要看其内因、外因以及随机性的因素共同作用的结果。在不同的阶段，在不同学生的身上，随机性和不规则性在这个过程中占有很大的比重。
因此在高等数学的教学中，必须认识到不规则、随机因素对学生学习造成的影响。教师应该有意识的改变学生的心理行为方式，具体到每一个学生身上，可以根据学生自身的特点，以谈话、鼓励、树立典型、增加提问次数等方式表达教师的期望值，增强学生的自尊心。更重要的是，以科学和包容的态度面对学生学习水平的起伏，使其尽快调整，回复到正常的学习中来。
3.3 高等数学的学习是学生主动参与的认知过程，认知过程具有一定的迭代性
分形迭代性指集合是由迭代过程产生的，持续进行的迭代步骤得到A越来越精确的图像。如图1：
分形当中的Von Coch曲线随着迭代步骤的进行，逐渐得到越来越精确的图像，数学认知的过程也有类似的特点。数学认知过程是应该由新学习内容的输入到新旧两种认知结构发生作用，再到产生新的认知结构，到应用熟练新的认知结构。③
图1
根据心理学的恒定假说，外界刺激与心理反应之间具有一对一的关系。高等数学中的内容结构的内部特性是根据整个数学体系的规则和这个结构的定义反复迭代来阐明的。对于新的学习内容，学生从课前预习到课上学习，到课后复习，再到期末复习，这个过程是通过反复迭代，从下到上的一个反复进行的知识结构的重建过程。
数学技能是学生数学素质中极为重要的一个部分，它包括动作技能和心智技能。动作技能是完成某一数学活动所需要的一系列外部的可见的实际动作及熟练程度，包括运用计算工具，测量，信息化条件下的数学运算以及分析等技能。技能的训练，要通过新旧知识和技能的迭代实现，在原有技能和知识的基础上，每一次迭代，都会使认知结构发生改变，使学生对数学技能的应用变得更加灵活和深刻。
山东省级教学研究项目资助，项目号：2009262
注释
① K.J.Falconer.分形几何：数学基础及应用[M].沈阳:东北大学出版社,2-11.
② 林德宏,肖玲.科学认识思想史[M].南京:江苏教育出版社.
③ 哈玲,杨爱民.数学认知结构与数学概念的学习[J].文山学院学报,2010(12).
