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摘 要：文章研究实数域中奇异积分的主值问题。这是基于数学分析中对广义积分的研究作的进一步深入探讨的工作。文中定义了一维奇异积分的Cauchy主值与Hadamard主值并给出了相应的公式。
关键词：高阶奇异积分；Cauchy主值；Hadamard主值
中图分类号：O17 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）12-0258-02
Abstrat： This paper studies the problem of principal value of singular integrals in real number field. This is the improvement research based on the study of generalized integralof Mathematical Analysis. The definitions of Cauchy principal value and Hadamard principal value ofone-dimensional singular integral are obtained，and the formulas are given.
Keywords： higher order singular integral； Cauchy principle value； Hadamard principle value
在复分析中有对复平面上奇异积分的主值研究，在实数域中也存在积分问题的研究，对收敛的广义积分可以求得其积分值，而发散的广义积分不存在积分值。这里便出现了值得探讨的新问题，即研究发散的广义积分的主值问题。
首先考察形如 （c？缀（a，b））的积分类型。一般情况
下，此类积分不存在。但我们有如下定义：
定义1设f（x）定义于（a，b）上，当c？缀（a，b）时，称F（x）=
为Cauchy型积分，只要此积分存在。
若极限 [ ]存在，则称
此极限为一阶奇异积分 的Cauchy主值，記为
C·P·V = [ ]
定义2 （H？觟lder条件）设f（x）定义于（a，b）上，若存在常数A，使得对于任意的两点x1，x2？缀（a，b），恒有"f（x1）-f（x2）|？荞A|x1-x2|a （0 定理1（一阶奇异积分的柯西主值存在的充分条件）若f （x）？缀Ca（a，b），c （a，b），则C·P·V 存在，且 C·P·V = … （1） 证明：因为 上式右端第二项与第四项之和为： ·{ } = ·{[ln ] +[ln ] } = ·ln 而右端的第一项与第三项可以如下证明其存在：因为f（x）？缀Ca（a，b），由H？觟lder条件， 知 由积分 收敛（因为0？荞1-a<1）知■■dx收敛，所以（2）式成立。定理1证毕。 在研究了一阶奇异积分■■dx（c？缀（a，b））的柯西主值C·P·V■■dx后，我们继续考察高阶奇异积分■■dx （c？缀（a，b）， n？莛2）的主值，首先考察二阶奇异积分■■dx（c ？缀（a，b））的柯西主值是否存在，其中f（x）？缀C1，a（a，b）（表示f（x）与f（x）在（a，b）上都满足H？觟lder条件 ） C·P·V = [ ] = [ ] = { + } = { }+ [ ] +[ ]=I1+I2+I3 当？着→0+时，I1=C·P·V■■dx。I3是与？着无关的常数， 而 I2= [ ]= [ ] = 此极限一般不存在。 由以上看出二阶奇异积分■■dx（c？缀（a，b））的柯西主值不一定存在，一般来说当奇点的阶数高于空间的维数时，都可能出现以上的情况，我们若删去引起柯西主值发散的项（如以上的I2），得到的就是有以下意义Hadamard主值概念。 定义3 设f（x）？缀C1，a（a，b），则二阶奇异积分■■dx的Hadamard主值为 H·P·V = + … 当n？莛2时，我们称■■dx为高阶奇异积分，这里只要将n=2 时的奇异积分■■dx稍加推广，即只要重复使用分部积分法，而把引起积分发散的项一概删去，即可得到高阶奇异积分■■dx （n？莛2）的Hadamard主值。 定理2：设f（x）？缀C1，a（a，b）（表示f（x）与f（n-1）（x）在（a，b）上都满足H？觟lder条件），c？缀（a，b），则高阶奇异积分■■dx的Hadamard主值为： H·P·V■■dx = 我们还可以将奇点位于区间内部的高阶奇异积分的Hadamard主值继续推广，讨论奇点位于区间边界处的奇异积分的Hadamard主值。 首先，考察单边一阶奇异积分■■dx ，f（x）？缀ca（a，b）的柯西主值是否存在 C·P·V = = [ ] = 上式中的第一项极限存在，第二项为常数。但第三项可能不存在。可见单边一阶奇异积分■■dx的柯西主值不一定存在，我们删去引起积分发散的项，即可得到一阶单边积分的Hadamard主值。 定义4 设f（x）？缀ca（a，b），则奇异积分■■dx的Hadamard主值为： 对于单边高阶奇异积分 ■■dx（n？莛2） 只要重复多次使用分部积分法，把引起积分发散的项一概删去，即可得到单边高阶奇异积分■■dx或 ■■dx（n？莛2）Hadamard主值。 定理3：设函数f（x）？缀Cn-1，a（a，b），单边高阶奇异积分■■dx或■■dx（n？莛2）Hadamard主值为： H·P·V■■dx = （4） H·P·V■■dx = （5） 联系前面高阶奇异积分与以上单边奇异积分易得以下定理： 定理4：设函数f（x）？缀Cn-1，a（a，b），c？缀（a，b），则： H·P·V■■dx=■■dx+■■dx 其中左端理解为高阶奇异积分，右端为单边高阶奇异积分。 数学分析对发散的广义积分的研究以判断出其发散为终止，而问题到此并未圆满结束，主值问题的提出正是为广义积分的研究开拓了新的思路，有其不容忽视的作用。 参考文献 [1]路见可.解析函数边值问题[M].上海科学技术出版社，1987. [2]李子植.函数论的边值问题[M].河北大学出版社，2000. [3]高红亚.二维高阶奇异积分[J].宁夏大学学报，1996. [4]高红亚.多奇点二维高阶奇异积分[J].河北省科学院学报，1996. [5]高红亚.无界域上的高阶奇异积分与推广留数定理[J].河北省科学院学报，1996.
