摘 要:积分学是数学分析的重要组成部分。熟练掌握积分学的相关内容是非常有必要的。主要论述无穷积分和瑕积分这些特殊积分的计算。由于无穷积分和瑕积分在知识结构上不是相互依存的关系,而是并列存在的关系,因此在讨论无穷积分和瑕积分的计算问题时,将无穷积分的相关内容归为一项,将瑕积分的相关内容归为一项。指出无穷积分和瑕积分是并列存在的,但它们之间也有一定的联系。论述了求解特殊积分的若干方法。
关键词:无穷积分 瑕积分 方法
一、研究现状
数学分析是数学及相关专业最重要的一门基础课程之一,也是这类专业的学生进入大学后最早面对的课程之一。许多数学工作者都曾从事这方面的研究,并取得了丰硕的成果。20世纪初年勒贝格开创了可列可加测度的积分论,即实变函数,也称实分析。复变函数论继续向纵深发展,形成复分析。以函数空间为背景的泛函和算子理论,开始了泛函分析的历程。三角级数论发展成的各种各样的傅立叶分析。20世纪分析学的另一个特征是处理高维空间中曲线曲面,多变量函数的整体特征,这需要拓展学生知识和代数工具,形成流形上的积分。它使微分几何学,偏微分方程,多复变函数论等学科相综合,形成当代数学中的主流方向。与此同时,研究多元函数的反函数,多元积分的外微分形式,逐渐成为分析学中的基础知识。
20世纪的分析学基本上解决了线性空间上的线性算子(线性微分方程)的课题,目前非线性分析已成为最活跃的数学分支之一。微积分的基础虽已严密化,但是无穷小量却不再是一个量,而是一个变化过程。为了使无穷小和无穷大作为一个量重返数坛,罗宾逊在1960年将实数系R扩充为超实数系R*,无穷小量作为实数系R*的数,使极限过程的表示更为简单,这称为非标准分析。
而积分学作为数学分析的重要组成部分,是数学专业及物理、化学、建筑等其他相关专业的学生必备的基础知识。所以,研究无穷积分、瑕积分的计算具有十分重要的意义。我国的数学工作者在这个方向也做出许多成绩。比如兰州交通大学数理与软件工程学院的许军保老师于2004年在《商洛师范专科学校学报》上发表了《瑕积分计算的简化》。另外,还有许多从事这方面研究的数学工作者也取得了不少的成绩。由于本人水平有限,在这里只是浅谈无穷积分、瑕积分的计算方法。
二、无穷积分的求解方法
1.基本概念与性质
(1)定义
注:本道例题中,所求积分转化为了一个瑕积分和一个无穷积分的和。
四、结论
无穷积分与瑕积分统称广义积分,是积分理论中的重要内容。深刻认识无穷积分与瑕积分的关系,对正确把握常义积分与广义积分的区别和联系具有十分重要的作用。而广义积分又可以看作是定积分与函数极限的结合,因此有关定积分的计算公式和技巧几乎都能应用于广义积分。其中最典型的就是分部积分法。
前面已经说过无穷积分和瑕积分在知识结构上不是相互依存的关系,而是并列存在的关系。因此本文讨论了几种有关无穷积分的计算方法,讨论了几种有关瑕积分的计算方法。其中定义法、分部积分法是计算广义积分最根本的方法。但是,对于那些有一定难度的题目,就需要一些解题技巧,这需要读者自己去不断总结。
参考文献:
1.华东师大数学系.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社
2.钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社
3.裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社
4.费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南:山东科学技术出版社,1985.419
5.孙清华,孙昊.复变函数内容、方法与技巧[M].武汉:华中科技大学出版社,1985.298
6.李成章,黄玉民.数学分析(上,第二版)[M].北京:科学技术出版社,2000.273
7.宋国栋等.数学分析习题题解(单变量部分)[M].北京:科学技术出版社,2002.254
8.林益等.数学分析习题详解(上)[M].武汉:华中科技大学出版社,2002
9.谢惠民等.数学分析习题课讲义(上)[M].北京:高等教育出版社,2001.390
10.钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京:崇问书局.2003:316
作者单位:四川省万源市万源中学
