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二元一次不等式( 组) 与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0 ，y 0 )作为测试点，由 Ax 0 ＋By 0 ＋C 的符号即可判断 Ax＋By＋C>0 表示的直线是 Ax＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的一次不等式 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3.应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1 (1)若不等式组 x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线 y＝kx＋ 43 分为面积相等的两部分，则 k 的值是(
) A. 73
B.37
C.43
D.34
(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________． 答案(1)A (2) x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0 解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线 y＝kx＋ 43 过定点 0， 43.因此只有直线过AB 中点时，直线 y＝kx＋ 43 能平分平面区域． 因为 A(1,1)，B(0,4)，所以 AB 中点 D 12 ，52. 当 y＝kx＋ 43 过点 12 ，52时， 52 ＝k2 ＋43 ，所以 k＝73 .
(2)两直线方程分别为 x－2y＋2＝0 与 x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线 x－2y＋2＝0 右下方可知 x－2y＋2≥0， 又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0， 即 x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0为所表示的可行域． 思维升华 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：
直线定界，测试点定域． 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
(1)在平面直角坐标系中，若不等式组 x＋y－1≥0，x－1≤0，ax－y＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 4，则 a 的值为(
) A．－5
B．3
C．5
D．7 (2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____．
答案 (1)D (2)x＋y－1>0 解析 (1)直线 ax－y＋1＝0 过点(0,1)， 作出可行域如图知可行域由点A(1,0)，B(1，a＋1)，C(0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且 a>－1，则其面积等于 12 ×(a＋1)×1＝4，解得 a＝7. (2)边界对应直线方程为 x＋y－1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x＋y－1>0. 题型二 求线性目标函数的最值 例 2 (1)(2014·广东)若变量 x，y 满足约束条件 y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 m－n 等于(
) A．5
B．6
C．7
D．8 (2)(2013·课标全国Ⅱ)已知 a>0，x，y 满足约束条件 x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3，若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则a＝________.答案 (1)B (2) 12
解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由 z＝2x＋y，得 y＝－2x＋z. 由 y＝x，y＝－1，得 x＝－1，y＝－1， ∴A( － 1 ， － 1) ． 由 x＋y＝1，y＝－1，得 x＝2，y＝－1， ∴B(2，－1)． 当直线 y＝－2x＋z 经过点 A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线 y＝－2x＋z 经过点 B 时，z max＝2×2－1＝3＝m，故 m－n＝6. (2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线 z＝2x＋y 过交点 A 时，z 取最小值， 由 x＝1，y＝ax－3，得 x＝1，y＝－2a，∴z min ＝2－2a
＝1，解得 a＝ 12 . 思维升华 线性规划问题的解题步骤：
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 0≤x≤ 2，y≤2，x≤ 2y给定．若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A 的坐标为( 2，1)，则 z＝OM→·OA→的最大值为(
) A．3
B．4
C．3 2
D．4 2 (2)(2014·北京)若 x，y 满足 x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值为(
) A．2
B．－2
C. 12
D．－12
答案 (1)B (2)D 解析 (1)由线性约束条件 0≤x≤ 2，y≤2，x≤ 2y 画出可行域如图阴影部分所示，目标函数 z＝OM→·OA→＝ 2x＋y，将其化为y＝－ 2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点( 2，2)时，z 最大，将点( 2，2)代入 z＝ 2x＋y 得 z 的最大值为 4. (2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线 kx－y＋2＝0 与 x 轴的交点为 A(－ 2k ，0)．
∵z＝y－x 的最小值为－4，∴ 2k ＝－4， 解得 k＝－ 12 ，故选 D. 题型三 线性规划的实际应用 例3 某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400元/辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆．若每天运送人数不少于 900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？ 解 设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆，相应营运成本为 z 元，则 z＝1 600x＋2 400y.由题意，得 x，y 满足约束条件 x＋y≤21，y≤x＋7，36x＋60y≥900，x，y≥0，x，y∈N. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线 z＝1 600x＋2 400y 经过可行域的点 P时，直线z＝1 600x＋2 400y在 y轴上的截距z2 400最小，即 z 取得最小值． 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤：
(1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．
某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B原料不超过 18 吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元． 答案 27 解析 设生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨， 则获得的利润为 z＝5x＋3y. 由题意得 x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18， 可行域如图阴影所示． 由图可知当 x、y 在 A 点取值时，z 取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)． 题型四 求非线性目标函数的最值 例 4 (1)设实数 x，y 满足 x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，则 yx 的最大值为________． (2)已知 O 是坐标原点，点 A(1,0)，若点 M(x，y)为平面区域 x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则|OA→＋OM→|的最小值是________． 答案 (1) 32
(2)3 22 解析 (1) yx 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1， 32 )处取到最大值． (2)依题意得，OA→＋OM→＝(x＋1，y)，|OA→＋OM→|＝ x＋1 2 ＋y 2可视为点(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线 x＋y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA→＋OM→|的最小值是 |－1＋0－2|2＝ 3 22. 思维升华 常见代数式的几何意义有 (1) x 2 ＋y 2 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离； (2) x－a 2 ＋y－b 2 表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离； (3) yx 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率； (4) y－bx－a 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
跟踪训练 4 (1)设不等式组 x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是 Ω 1 ，平面区域 Ω 2 是与 Ω 1 关于直线3x－4y－9＝0 对称的区域，对于 Ω 1 中的任意一点 A与 Ω 2 中的任意一点 B，|AB|的最小值等于(
) A. 285
B．4
C. 125
D．2 (2)设变量 x，y 满足 5x＋2y－18≤0，2x－y≥0，x＋y－3≥0，若直线 kx－y＋2＝0 经过该可行域，则 k 的最大值为________． 答案 (1)B (2)1 解析 (1)由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域 Ω 1中的点到直线 3x－4y－9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 可看出点(1,1)到直线 3x－4y－9＝0 的距离最小， 故|AB|的最小值为 2× |3×1－4×1－9|5＝4，选 B. (2)画出可行域如图，k 为直线 y＝kx＋2 的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使 k 最大，此直线需过 B(2,4)点，所以 k＝ 4－22－0 ＝1.
利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值 典例：(12 分)变量 x、y 满足 x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1， (1)设 z＝ yx ，求 z 的最小值； (2)设 z＝x 2 ＋y 2 ，求 z 的取值范围； (3)设 z＝x 2 ＋y 2 ＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围． 思维点拨 点(x，y)在不等式组表示的平面区域内， yx ＝y－0x－0 表示点(x，y)和原点连线的斜率；x2＋y 2 表示点(x，y)和原点距离的平方；x 2 ＋y 2 ＋6x－4y＋13＝(x＋3) 2 ＋(y－2) 2 表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方． 规范解答 解 (1)由约束条件 x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，作出(x，y)的可行域如图所示． 由 x＝1，3x＋5y－25＝0， 解得 A 1， 225. 由 x＝1，x－4y＋3＝0，解得 C(1,1)． 由 x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得 B(5,2)．[4 分] ∵z＝ yx ＝y－0x－0 . ∴z的值即是可行域中的点与原点 O连线的斜率． 观察图形可知 z min ＝k OB ＝ 25 .[6 分] (2)z＝x 2 ＋y 2 的几何意义是可行域上的点到原点 O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC|＝ 2，d max ＝|OB|＝ 29. ∴2≤z≤29.[9 分]
(3)z＝x 2 ＋y 2 ＋6x－4y＋13＝(x＋3) 2 ＋(y－2) 2 的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4， d max ＝ －3－5 2 ＋2－2 2 ＝8. ∴16≤z≤64.[12 分] 温馨提醒 (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． (3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.
方法与技巧 1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)． 2．求最值：求二元一次函数 z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－ ab x＋ zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得． 3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题． 4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． 失误与防范 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．在通过求直线的截距 zb 的最值间接求出z的最值时，要注意：当 b>0 时，截距 zb 取最大值时，z 也取最大值；截距 zb 取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距 zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值.
直观图与三视图
考纲要求
1.能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的模型， 2.会用斜二测画法画出它们的直观图。
3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的共同表现形式。
基础知识梳理
1. 空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括
、
、
2. 空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的 x 轴、 y 轴，两轴相交于点 O ，画直观图时，把它们画成对应的 x ′轴、y ′轴，两轴相交于点 O ′，且使∠ x ′ O ′ y ′＝
，已知图形中平行于 x 轴、 y 轴的线段，在直观图中平行于 x ′轴、 y ′轴．已知图形 中 平 行 于 x 轴 的 线 段 ， 在 直 观 图 中 长度
，平行于 y 轴的线段，长度变为
. . (2)画几何体的高 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的 z ′轴，也垂直于 x ′ O ′ y ′平面，已知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z ′轴且长度
. . 3. 一个规律
三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 预习自测 1.（2012 四川）下列命题正确的是（
）
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两
个平面平行 2.(2012 湖南) 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是（
）
3.(2011 陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(
) A．8－ 2π3
B．8－ π3
C．8－2π
D. 2π3
课堂探究案
典型例题
考点 1 1 ：
空间几何体的三视图 【典例 1】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(
)
【变式 1】(2011 浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（
）
考点 2 2 ：
空间几何 体的直观图
【典例 2】已知正三角形 ABC 的边长为 a ，那么△ABC 的平面直观图△ A ′...
