材料力学答案

　 例 图示一半径为R的光滑圆盘，平置于光滑水平面上，并可绕通过盘心并与其垂直的轴O转动；另有一均质杆长为R、重W，A端铰接于盘的外沿，B端始终压在沿的内侧。已知R=400mm，W=100N。若在某瞬时 =3rad/s、 =6rad/s 2 ，求该瞬时杆的A、B端所受之力。 ABORF BABOCF AxF AyCanCa：

　解：

　研究杆AB。270 1 s m OC a C / .   2 255 2 s m OC a nC/ .   NgPm 2 10.   2 00 3 45 s m a a anC C Cx/ . cos    2 060 0 45 s m a a anC C Cy/ . cos     22612121mR R m J C  2232mR OC m J JC O   N 4 22.   Cy Ay Bma F F由刚体定轴转动微分方程，得：R F JAy O   所以：

　N 3 16. RJFOAy由质心运动定理，得：Ax CxF ma B Ay CyF F ma  所以：

　N 6 30.  Cx Axma FF BABOCF AxF AyCanCa例 例 均质圆柱体的质量为m ，半径为r ，放在倾角为60 0 的斜面上于 ，一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于A 点，此绳与相连部分与斜面平行。如圆柱体与斜面间的摩擦系数为f=1/3 ，求圆柱体质心的加速度。2rAB60 0mgCBmgCF TF dF Na Cxy060 cos 0 mg F mN  2mgF N 6mgf F Fd N d  刚体平面运动微分方程：解：以轮为研究对象。

　r F r mg mrd2 60 sin210 2    d T CF F mg ma    060 sin运动学关系：

　 r a C rg366 0.  248 3 366 0 s m g r a C / . .     均质细直杆AB，质量为 ㎏ ，两端悬挂在两条平行绳上，于图示位置平衡。突然剪断其中一绳，求此瞬时另一绳的张力。4  m例ABCABCTFg mCaABCCaAa0 nAaACa0 nACaCanAC AC C Aa a a a   nA A Aa a a   在刚剪断瞬时，A点的速度 ，杆的角速度0  0 Av解：

　研究杆AB。由刚体平面运动微分方程得T CT CFlJF mg ma    cos2其中：2121ml J C运动学关系：以C为基点，分析A点的加速度。nAC AC C Aa a a a   nA A Aa a a  其中：

　， 0 nAa 0 nACa所以 AC C Aa a a   ，并由此得0 cos2    la C

　解得：lg2cos 3 1cos 6,mg F T2cos 3 11此题目属于 突然解除约束问题，简称突解约束问题。突解约束问题的力学特点：系统解除约束后，其自由度一般会增加；解除约束的前后瞬时，其速度、角速度连续，但加速度、角加速度发生突变。因此，突解约束问题属于动力学问题，而非静力学问题。动力学问题中，一般要用到 运动学关系，而运动学关系的建立，往往是解题的关键。

　例：

　图示系统，力F 使A 点以u 匀速运动，绳OB=L/2。

　图示瞬时，运动至OB 铅垂。求此瞬时OA 杆的加角速度、地面约束力、绳的拉力。设杆长为L ， 质量为mA030BOg mF分析：此题目给出了杆的运动，可以用刚体平面运动微分方程求出未知力。

　lua234BA22lu34 0 Aa02   l a nBAlBnB222)2(u l/ v a  其中nBA BA A Ba a a a   AB0 AaAa 0 nBAaBaBAanBa投影于 轴，得：

　cosBAnBa a Bv030ABu v A 瞬时平动0  u v vB A 

　nCAaCAa AaAaABCnCA CA A Ca a a a   22322 lu la    CA0 Aa022  la nCA其中：于是可得：CA Ca a g m030AFFABCCa0  BF

　A Bal 1 l 2l 3mg电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁合重P。绞车与电机转子固结在一起，转动惯量为J。绞车以加速度 a提升重物。已知重物质量为 m，绞盘半径为R 。求由于加速提升重物而对支座A、B的附加压力。：

　解：

　取梁、绞车和重物组成质点系。受力如图。F AF B由运动学可知：Ra 虚加惯性力：F gM gma F g RaJ Ja M g  列平衡方程：

　  ， 0  i BM F， 0  yF  03 2 2 2 1      g g AM Pl mgl l F l l F0     g B AF P mg F F      RJml a l l l P mgll lF B1 3 2 1 12 11上式中，前两项为支座静反力，后一项为附加动反力。由于加速提升重物而对支座产生的附加压力等于附加动反力。解得：  RJml a Pl mgll lF A2 3 22 11所以：RJmll laF B12 1’RJmll laF A22 1’附加压力（或附加动反力）决定于惯性力系，只求附加压力时，列方程不必考虑重力。

　30 0OmgF sF NaF gM gC均质圆轮沿斜面做纯滚动。已知轮的质量为m，半径为R。求轮质心的加速度、所受斜面的摩擦力。：

　解：

　研究轮，其受力如图。设轮质心的加速度为a，则轮的角加速度为 。Ra 虚加惯性力：

　ma F g  maRRamR J MO g2 212   列平衡方程：  ， 0  i CM F， 0  xF0 30 sin0    R mg F Mg g0 30 sin 20    R mg maR Rma/ 即：0 30 sin0   S gF F mg解得：3ga  mg F S61 平衡方程：

　  ， 0  i CM F 0 30 sin20    R mg maR maR若选O点为矩心列平衡方程：

　0    R F MS g  ， 0  i OM F该方程移项后便是：

　R F MS g 即：

　R F JS C   ——相对质心的动量矩定理达郎伯原理完全等价于动量定理和动量矩定理该方程移项后便是：即：

　0 30 sin20 22    R mg mRmR R mg J C030 sin  ——相对相对速度瞬心的动量矩定理， 0  xF 0 30 sin0   S gF F mg该方程移项后便是：

　SF mg ma   030 sin——质心运动定理

　A B Cl lmgF BxF ByB CDa DF g M gB：

　解：

　研究杆BC。画受力图，并虚加惯性力：

　2lm ma FD g  231ml M g 设杆的角加速度为 则杆质心的加速度为 2la D 列方程：, 0  Bm， 0  Y0    mg F Fg By0 2   / l mg M gB解得：lg23  g a D43mg F By41mg F g43mgl M gB21

　画受力图，并虚加惯性力：列方程：, 0  Bm， 0  Y0 2    mg F Fg Ay    0 2 3 2       / / l mg l mg M MgB A解得：mg F g43 mgl M gB21， 0  X0 AxF0 AxF mg F Ay45mg mgA B C F AxF AyM AM gBF gmgl M A25研究整体。

　CO 3ABO 1 O 2a Ca BABO 1 O 2CF A F Bmgyx 解：边长为l，质量为m的均质方板有两个等长的细绳平行吊在天花板上，有一细绳AO 3 水平拉在墙上，如图所示。已知板处于平衡时，细绳AO 1 与铅垂线的夹角为  （  º），试求细绳AO 3 被剪断后的瞬时，板质心加速度和细绳AO 1 和BO 2 的拉力。取方板为研究对象；受力分析；C gma F F g因为方板平动，且在开始运动的初瞬时其质心只有切向加速度，所以虚加惯性力：例：

　0  Y0 sin    mg F g sin mg maC sin g a C 0  Am0 cos21sin2 21cos       g g BFlF mg l F0 cos21sin2 21cos       g g AFlF mg l F 0  Bm由此解出：

　    cos sin2 mgF B     sin cos2 mgF A列方程求T A 、T B ：ABO 1 O 2CF A F BmgyxF g

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